浅见Tarjan算法与无向图连通性

Posted 2022-08-21 -sheldon

无向图的割点和桥

定义

割点：删除这个点时图将不再连通

割边：删除这条便时图将不再连通

时间戳

在图的深度优先搜索中的顺序（第几个被访问）

搜索树

在深搜时形成的树

图一为一张无向连通图，中间的为起点，红边为“发生递归”的边

图二就是搜索树了，编号为时间戳

 

 

 

 

追溯值

追溯值为low[],low[x]表示x及x的能到达的节点的dfn最小值

割边的判定法则

无向图（x, y）是桥，当且仅当在搜索树上存在x的一个子节点y，满足：

low[y] > dfn[x]

模板

割点判定法则

如果x并不是树的根节点，则x是割点当且仅当搜索树上存在一个x的子节点y，满足：

low[y] >= dfn[x]

特别的，当x为树的根节点且有2个及以上的子树时，x也为割点

模板

无向图的双联通分量

若一张无向联通图不存在割点，则是 点双联通图 

若一张无向联通图不存在割边，则是 边双联通图

无向图的极大点双联通子图叫做 “点双联通分量”

无向图的极大边双联通子图叫做 “边双联通分量”

定理

一张无向连通图是“点双联通图”，当且仅当满足下列2个条件之一：

1 图的节点数<=2

2 图中的任意两点有不小于2条的不重复的路径可以互相到达，即在一个简单环中

边双求法

只需要求出图中所有的割边，把这些割边删掉后，会出现若干个连通块，每一个连通块就是一个边双

边双模板

点双求法

点双其实就是割点向自己每一条出边进行深搜所能遍历到的点（遇到另一个割点不行）

我们可以在tarjan中维护一个栈，方法：

1 当一个节点第一次被访问时，把该节点入栈

2 当判定割点生效时，无论x是否为根，都要：

　　　（1）从栈顶不断弹出节点，直到弹出节点y

　　　（2）刚才弹出的点构成了一个点双

点双模板 

欧拉路问题

定义

欧拉回路：在图中经过每一条边一次并且仅一次的回路叫作欧拉回路

欧拉路径：在图中经过每一条边一次并且仅一次的路径叫作欧拉路径

欧拉图：有欧拉回路的图

半欧拉图：有欧拉路径但是没有欧拉回路的图

事实上 欧拉回路就是一条特殊的欧拉路径

定理

1 无向图G为欧拉图，每个节点的入度都为偶数

2 无向图G为半欧拉图，除起点终点入读为奇数，剩下的节点的入度为偶数

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