MT354又一道极值点偏移

Posted 2022-08-21 mathstudy

(2014天津)已知函数$f(x)=x-ae^x(a\\in R)$,有两个零点$x_1,x_2,(x_1<x_2)$
(1)求$a$的取值范围;
(2)证明:$\\dfracx_2x_1$随着$a$的减小而增大;
(3)证明:$x_1+x_2$随着$a$的减小而增大.

分析:(1)(2)可以通过参变分离研究$y=\\dfracxe^x$ 的图像,(如图)易得.

(3)由题意可知$\\ln x_1=x_1+\\ln a,\\ln x_2=x_2+\\ln a$相减得$\\ln\\dfracx_2x_1=x_2-x_1$

故齐次化得
\\beginalign*
x_1+x_2 & =\\dfrac\\ln\\dfracx_2x_1x_2-x_1(x_1+x_2) \\\\
 &\\xlongequal\\rm \\fracx_2x_1=t>1\\dfrac(1+t)\\ln tt-1=g(t)\\\\
\\endalign*
$g^‘(t)=\\dfrac-2\\ln t+t-\\frac1t(t-1)^2\\ge\\dfrac-2*\\fract-1\\sqrtt+t-\\frac1t(t-1)^2=\\dfrac(\\sqrtt-1)^2t(t-1)\\ge0$
(这里用到了放缩$\\ln x\\le \\dfracx-1\\sqrtx)$
故$x_1+x_2$随$t$的增大而增大,结合(2)知$x_1+x_2$随$a$的减小而增大