MT353线性化夹逼

Posted 2022-08-19 mathstudy

若实数$a,b$满足$\\dfrac52a-\\dfrac32b-2\\le\\ln(a+b)+\\ln(a-b)$, 求$5a-3b$=______

注意到:$\\ln x\\le x-1(x>0)$
则$\\ln(a+b)+\\ln(a-b)=\\ln(\\dfrac12(a+b))+\\ln2(a+b)$

$\\le \\dfrac12(a+b)-1+2(a+b)-1=\\dfrac52a-\\dfrac32b-2 $
故$\\dfrac52a-\\dfrac32b-2=\\ln(a+b)+\\ln(a-b)$当$a=\\dfrac54,b=\\dfrac34$时等号成立
故$5a-3b=4$
注:此处系数是待定出来的.

 

练习:
若$x,y$是实数,$e^x+y+2-3\\le\\ln(y-2x+1)+3x$,则$2x+y$的值为_____
提示:$2x+y=-\\dfrac83$