AtCoder Beginner Contest 133 F - Colorful Tree

Posted 2022-08-18 clno1

题意：给出一棵n个点的树，每条边有颜色和边长两个属性，n个询问，每次询问把颜色x的边的边长变为y问u到v的路径长度是多少，询问之间独立。

解法：这道题蛮有意思的。解法参考https://www.cnblogs.com/Tieechal/p/11185912.html这位大佬的，这里说下我的理解。

对于每组询问（x,y,u,v）答案比较显然就是dist(u,v)+(sumlen[x]-sumcnt[x]*y)，但是这道题在线不好做我们考虑离线做。但是答案的式子是设计到两个点的，怎么才能离线做呢？这里运用了一种比较巧妙地办法：利用LCA把询问拆成3个点，然后直接一遍dfs离线即可。具体来说就是把每个询问拆成u,v,lca三个点，这三个点对询问造成地贡献就是答案，每个点p的贡献就是：根到p点的路径+根到p点路径中颜色x的路径总和-根到p点颜色x的边数*y（当然三个点的系数是不一样的）。根据LCA求两点距离的经验不难看出其实这里的原理差不多，也是分别算跟到两点然后除去到lca的重复部分就是正确的。

那么先dfs一遍求LCA，然后再离线dfs一遍处理询问就可以了。

 

细节详见代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,t;
typedef long long LL;
struct query
    int x,y,u,v;
    long long ans;
Q[N];
vector<int> v[N],b[N];

int cnt,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],col[N<<1],len[N<<1];
void add_edge(int x,int y,int c,int d) 
    nxt[++cnt]=head[x]; to[cnt]=y; col[cnt]=c; len[cnt]=d; head[x]=cnt;


int dep[N],f[N][20];
void dfs1(int x,int fa,int d) 
    dep[x]=d;
    for (int i=head[x];i;i=nxt[i]) 
        int y=to[i];
        if (y==fa) continue;
        f[y][0]=x;
        for (int j=1;j<=t;j++) f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
        dfs1(y,x,d+1);
    


int LCA(int x,int y) 
    if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    for (int i=t;i>=0;i--)
        if (dep[f[y][i]]>=dep[x]) y=f[y][i];
    if (x==y) return x;
    for (int i=t;i>=0;i--)
        if (f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];        


int sumc[N],sumd[N];
void dfs2(int x,int fa,int dis) 
    for (int i=0;i<v[x].size();i++) 
        int id=v[x][i];
        Q[id].ans+=(LL)dis*b[x][i];
        Q[id].ans-=(LL)sumd[Q[id].x]*b[x][i];
        Q[id].ans+=(LL)sumc[Q[id].x]*Q[id].y*b[x][i];
    
    for (int i=head[x];i;i=nxt[i]) 
        int y=to[i];
        if (y==fa) continue;
        sumc[col[i]]++;
        sumd[col[i]]+=len[i];
        dfs2(y,x,dis+len[i]);
        sumc[col[i]]--;
        sumd[col[i]]-=len[i];
    


int main()

    cin>>n>>m;
    t=log2(n)+1;
    for (int i=1;i<n;i++) 
        int x,y,c,d;
        scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&c,&d);
        add_edge(x,y,c,d);
        add_edge(y,x,c,d);
    
    dfs1(1,0,1);
    for (int i=1;i<=m;i++) 
        scanf("%d%d%d%d",&Q[i].x,&Q[i].y,&Q[i].u,&Q[i].v);
        v[Q[i].u].push_back(i); b[Q[i].u].push_back(1);
        v[Q[i].v].push_back(i); b[Q[i].v].push_back(1);
        int lca=LCA(Q[i].u,Q[i].v);
        v[lca].push_back(i); b[lca].push_back(-2);
    
    dfs2(1,0,0);
    for (int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\\n",Q[i].ans);
    return 0;