欧拉函数

Posted 2022-08-17 candy067

之前我们自学欧拉函数的时候，一直都是一脸懵逼的，可能是我智力的问题吧（我就是一个小小的蒟蒻），后来问了一些大佬，然后又不停的查百度才懂的。。。。（有问题，问度娘）
言归正传，现在开始讲欧拉函数：
序：欧拉函数实际上就是求一个数与他互质的数的个数（肯定要小于他自己啦！），我们表示为$\varphi (n)$

1.欧拉函数的通用公式就是：$\varphi (n)=n(1-\frac1p1)(1-\frac1p2)...(1-\frac1pn)$【pi为质数】

这个其实是可以理解的，我们已经知道：素数n的phi实际上就是n-1，为什么呢？因为除了他自己，其他比他小的数都与他互质嘛，其实这也是一个质数特性。然而$1-\frac1pi$其实就相当于分率，因为我们已知pi就是质数了，而质数的一大堆特性我们都可以搬过来用，pi只有他自己不与他互质，而剩下的就都与他互质啦！所以就是1-1/pi嘛，然后我们将所有的分率乘起来，最后再乘一个n，那么就是$\varphi(n)$啦！

介个也可以证明：我们令n=pq，那么$\varphi (n)=n-\fracnq-\fracnp+\fracnq+p$
然后你再化简，就会得到$\varphi (n)=n(1-\frac1p1)(1-\frac1p2)...*(1-\frac1pn)$

2.$\varphi(n)=n-1$【n为质数】

这个也是很好理解的，我上面已经讲了。

3.接着，我们设$n=p^k$，也就是说n能分成若干个相同的数相乘，那么我们就开始来研究phi(n)吧！
首先$\varphi(n)=\varphi(p^k)=n-\fracnp$（因为n除了p的倍数，剩下的数都与他互质嘛，例如$8=2^3$，8除了2,4,6,8【我们这里暂且包括8，因为后面我们是用8来减得】，剩下的数都与他互质了呀！而p的倍数的个数就是$\fracnq$呀）=$p^k- \fracp^kp=p^k-p^(k-1)$

这里，我们两个式子都提取出$p^(k-1)$，然后就成为$p^(k-1)p-p^(k-1)1$，太好了，可以乘法分配律，就是$p^(k-1)*(p-1)$
这个式子很重要，后面的证明都需要！

4.啊哈，如果你看到这里并且很理解前面的公式的话，那么就恭喜你，你离成功已经很近了！
这里我们设a和b互质，事实证明

$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

为什么捏？我们令$n=p1^a1p2^a2....pn^an$【并且pi为质数】
∵$\varphi(n)=n(1-\frac1p1)(1-\frac1p2)......(1-\frac1pn)$【pi为质数】
∴原式=$(p1^a1p2^a2....pn^an)(1-\frac1p1)(1-\frac1p2)......(1-\frac1pn)$
=$(p1^a1p2^a2....pn^an)(p1-1)(p2-1)......(pn-1)/(p1p2.....pn)$
=$[(p1-1)*p1^(a1-1)][(p2-1)*p2^(a2-1)].....[(pn-1)*pn^(an-1)]$
=$\varphi(p1^a1)\varphi(p2^a2)....\varphi(pn^an)$【根据上面3的公式】
这样我们就发现$\varphi(p1^a1)\varphi(p2^a2)....\varphi(pn^an)=\varphi(p1^a1p2^a2....pn^an)$
啊，太有趣了，那么也就是说：当几个数中相互互质的话，那么phi就是积性函数，所以就是上面的$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$【abs(a,b)=1】

5.最后一个公式了，恭喜你啊，你就要成功了!
当a mod b=0时，$\varphi(ab)=\varphi(a)b$
这个很简单就可以证明：由上面所说，b并到其中一个$b^x$里面，那么$\varphi(a)=\varphi(b^x)=(b-1)b^(x-1)$
然后$\varphi(ab)=\varphi(b^xb)=\varphi(b^(x+1))=(b-1)b^x$
$(b-1)b^(x-1)b=(b-1)b^x$
∴$\varphi(a)b=\varphi(a*b)$

奶思，成功啦，代码就是在线性素数上改一下：

当n为素数时，$\varphi(n)=n-1$

当a和b互质时，$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

当a mod b=0时，$\varphi(ab)=\varphi(a)b$