[Contest1336]sequence

Posted 2022-08-15 evan704

题面

Description

【题目描述】

    给定一个长度为n的由[‘0‘..‘9‘]组成的字符串s，v[i,j]表示由字符串s第i到第j位组成的十进制数字。

    将它的某一个上升序列定义为：将这个字符串切割成m段不含前导‘0‘的串，切点分别为k1,k2...km-1，使得v[1,k1]<v[k1+1,k2]<...<v[km-2,km-1]。

    请你求出该字符串s的上升序列个数，答案对 10^9+7 取模。

【输入数据】

    第一行一个整数n,表示字符串长度；

    第二行n个[‘0‘..‘9‘]内的字符，表示给出的字符串s。

【输出数据】

    仅一行表示给出字符串s的上升序列个数对10^9+7取模的值。

【样例输入1】

6

123434

【样例输出1】

8

【样例输入2】

8

20152016

【样例输出2】

4

【数据范围】

    对于30%的数据满足：n<=10；

    对于100%的数据满足：n<=5000。

题意

一个有n个数的序列，将它分成若干段，要求每段不含有前导零，且分段后形成的m个数单调递增。

题解

对于30%的数据，看到这么小的n，当然是大暴力啦hhhhhh

#include<iostream>
using namespace std;
int n,ans;
char ch[30];
unsigned long long toi(int l,int r)//计算分出来的数
    unsigned long long res=0;
    for(register int i=l;i<=r;i++)res=res*10ll+(unsigned long long)ch[i]-‘0‘;
    return res;

void dfs(int u,int lp,unsigned long long li)
    if(u==n+1)
        ans++;
        return;
    
    unsigned long long num=toi(lp+1,u);
    if(num>li&&ch[u+1]!=‘0‘)dfs(u+1,u,num);//注意前导零
    if(u!=n)dfs(u+1,lp,li);

int main()
//  freopen("1.txt","r",stdin);
    scanf("%d%s",&n,ch+1);
    dfs(1,0,0);
    printf("%d",ans);

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100%的数据，考虑dp。

看到序列，自然想到关于序列的东西，一番摸索后发现可以用lcp做。

设$lcp[i][j]$为$i$下标开始的后缀和$j$下标开始的后缀的lcp。

然后枚举断点和区间长度，有请dp

设$f[i][j]$为将$[i,i+j)$作为一段可行的方案数，将$[i,i+j)$分为一段后，下一段的起点为$i+j$，长度>=$j$，得到递推式：

如果当前段比下一段小，$f[i][j]=f[i+j][j]+f[i+j][j+1]+......+f[i+j][n-i]$

否则，$f[i][j]=f[i+j][j+1]+f[i+j][j+2]+......+f[i+j][n-i]$

比较大小可以通过lcp快速得出，而递推可以通过维护后缀和达到$O(n^2)$

#include<iostream>
using namespace std;
int n,f[5005][5005],lcp[5005][5005],mod=1e9+7;
char ch[5005];
int main()
    scanf("%d%s",&n,ch+1);
    for(int i=n;i>=1;i--)//lcp预处理
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(ch[i]==ch[j])lcp[i][j]=lcp[i+1][j+1]+1;
        
    
    for(int i=n;i>=1;i--)
        if(ch[i]==‘0‘)continue;//前导零
        f[i][n-i+1]=1;
        for(int j=1;j<=n-i;j++)
            int t=min(lcp[i][i+j],j-1);
            if(ch[i+t]<ch[i+j+t])f[i][j]=f[i+j][j];//比较
            else f[i][j]=f[i+j][j+1];
        
        for(int j=n-i;j>=1;j--)f[i][j]=(f[i][j]+f[i][j+1])%mod;//后缀和
    
    printf("%d",f[1][1]);

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