二叉树——前序遍历中序遍历后序遍历层序遍历详解(递归非递归)

Posted 2022-08-14 bigsai

前言

• 前面介绍了二叉排序树的构造和基本方法的实现。但是排序遍历也是比较重要的一环。所以笔者将前中后序.和层序遍历梳理一遍。
• 了解树的遍历，需要具有的只是储备有队列，递归，和栈。这里笔者都有进行过详细介绍，可以关注笔者数据结构与算法专栏。持续分享，共同学习。

层序遍历

层序遍历。听名字也知道是按层遍历。我们知道一个节点有左右节点。而每一层一层的遍历都和左右节点有着很大的关系。也就是我们选用的数据结构不能一股脑的往一个方向钻，而左右应该均衡考虑。这样我们就选用队列来实现。

• 对于队列，现进先出。从根节点的节点push到队列，那么队列中先出来的顺序是第二层的左右(假设有)。第二层每个执行的时候添加到队列，那么添加的所有节点都在第二层后面。
• 同理，假设开始pop遍历第n层的节点，每个节点会push左右两个节点进去。但是队列先进先出。它会放到队尾(下一层)。直到第n层的最后一个pop出来，第n+1层的还在队列中整齐排着。这就达到一个层序的效果。

实现的代码也很容易理解：

public void cengxu(node t) //层序遍历
	Queue<node> q1 = new ArrayDeque<node>();
	if (t == null)
		return;
	if (t != null) 
		q1.add(t);
	
	while (!q1.isEmpty()) 
		node t1 = q1.poll();
		if (t1.left != null)
			q1.add(t1.left);
		if (t1.right != null)
			q1.add(t1.right);
		System.out.print(t1.value + " ");
	
	System.out.println();

前中后序遍历(递归)

其实这种就是一个类似dfs的思想。用递归实现。前面有很详细的介绍递归算法。我们采用的三序遍历是采用同一个递归。并且大家也都直到递归是一个有来有回的过程。三序遍历只是利用了递归中的来回过程中不同片段截取输出，而达到前(中、后序遍历的结果)。

前序递归

前序的规则就是根结点 ---> 左子树 ---> 右子树.我们在调用递归前进行节点操作。对于前序，就是先访问(输出)该节点。而递归左，递归右侧，会优先递归左侧。直到没有左节点。才会停止。访问次序大致为：

public void qianxu(node t)// 前序递归 前序遍历：根结点 ---> 左子树 ---> 右子树

	if (t != null) 
		System.out.print(t.value + " ");// 当前节点
		qianxu(t.left);
		qianxu(t.right);
	

中序递归

有了前序的经验，我们就很好利用递归实现中序遍历。中序遍历的规则是：左子树---> 根结点 ---> 右子树。所以我们访问节点的顺序需要变。

• 我们直到递归是来回的过程，对于恰好有两个子节点(子节点无节点)的节点来说。只需要访问一次左节点，访问根，访问右节点。即可。
• 而如果两侧有节点来说。每个节点都要满足中序遍历的规则。我们从根先访问左节点。到了左节点这儿左节点又变成一颗子树，也要满足中序遍历要求。所以就要先访问左节点的左节点(如果存在)。那么如果你这样想，规则虽然懂了。但是也太复杂了。那么我们借助递归。因为它的子问题和根节点的问题一致，只是范围减小了。所以我们使用递归思想来解决。
• 那么递归的逻辑为：考虑特殊情况(特殊就直接访问)不进行递归否则递归的访问左子树(让左子树执行相同函数，特殊就停止递归输出，不特殊就一直找下去直到最左侧节点。)——>输出该节点—>递归的访问右子树.

代码为：

public void zhongxu(node t)// 中序遍历 中序遍历：左子树---> 根结点 ---> 右子树

	if (t != null) 
		zhongxu(t.left);
		System.out.print(t.value + " ");// 访问完左节点访问当前节点
		zhongxu(t.right);
	

后序递归

同理，有了前面的分析，后续就是左子树 ---> 右子树 ---> 根结点

public void houxu(node t)// 后序遍历 后序遍历：左子树 ---> 右子树 ---> 根结点

	if (t != null) 
		houxu(t.left);
		houxu(t.right);
		System.out.print(t.value + " "); // 访问玩左右访问当前节点
	

非递归前序

法一(技巧)

• 非递归的前序。我们利用栈的性质替代递归，因为递归有时候在效率方面不是令人满意的。
  利用栈，我们直到栈的顺序为现金先出。那么顺序如何添加？递归是左递归，右递归。但是利用栈要相反，因为如果左进栈、右进栈会出现以下后果：
  
  所以，我们要利用递归的思路，需要先放右节点进栈，再放左节点进栈，这个下次·再取节点取到左节点·，这个节点再右节点进栈，左节点进栈。然后循环一直到最后会一直优先取到左节点。达到和递归顺序相仿效果。
  
  每pop完添加右左节点直接输出(访问)即可完成前序非递归遍历。

public void qianxu3(node t)// 非递归前序 栈 先左后右  t一般为root

	Stack<node> q1 = new Stack<node>();
	if (t == null)
		return;
	if (t != null) 
		q1.push(t);
	
	while (!q1.empty()) 
		node t1 = q1.pop();
		if (t1.right != null) 
			q1.push(t1.right);
		
		if (t1.left != null) 
			q1.push(t1.left);
		
		System.out.print(t1.value + " ");
	

法二(传统)

方法二和非递归中序遍历的方法类似，只不过需要修改输出时间，在进栈时候输入访问节点即可。具体参考中序遍历分析。

public void qianxu2(node t) 
		Stack<node> q1 = new Stack();	
		while(!q1.isEmpty()||t!=null)
		
			if (t!=null) 
				System.out.print(t.value+" ");
				q1.push(t);				
				t=t.left;
			
			else 
				t=q1.pop();
				t=t.right;
			
		
	

非递归中序

非递归中序和前序有所区别。
我们直到中序排列的顺序是：左节点，根节点，右节点。那么我们在经过根节点的前面节点 不能释放， 因为后面还需要用到它。所以要用栈先储存。
它的规则大致为：

• 栈依次存入左节点所有点，直到最左侧在栈顶。
• 开始抛出栈顶并访问。(例如第一个抛出2)。如果有右节点。那么将右节点加入栈中，然后右节点一致左下遍历直到尾部。（这里5和7没有左节点，所以不加）但是如果抛出15。右节点加入23.再找23的左侧节点加入栈顶。就这样循环下去直到栈为空。

可行性分析：中序是左—中—右的顺序。访问完左侧。当抛出当前点的时候说明左侧已经访问完(或者自己就是左侧)，那么需要首先访问当前点的右侧。那么这个右节点把它当成根节点重复相同操作（因为右节点要满足先左再右的顺序）。这样其实就是模拟了一个递归的过程，需要自己思考。

实现代码1：

public void zhongxu2(node t) 
	Stack<node> q1 = new Stack();	
	while(!q1.isEmpty()||t!=null)
	
		if (t!=null) 
			q1.push(t);
			t=t.left;
		
		else 
			t=q1.pop();
			System.out.print(t.value+" ");
			t=t.right;
		
	

实现代码2：(个人首次写的)

public void zhongxu3(node t)// 先储藏所有左侧点，抛出一个点，访问该点右节点，对右节点在储存所有子左节点

	Stack<node> q1 = new Stack();
	if (t == null)
		return;
	if (t != null) 
		q1.push(t);
	
	node t1 = q1.peek();// 不能抛出，要先存最左侧
	while (t1.left != null) 
		t1 = t1.left;
		q1.push(t1);
	
	while (!q1.isEmpty()) 
		node t2 = q1.pop();
		System.out.print(t2.value + " ");
		if (t2.right != null) 
			t2 = t2.right;
			q1.push(t2);
			while (t2.left != null) 
				t2 = t2.left;
				q1.push(t2);
			
		
	

非递归后序※

非递归后序遍历有两种方法
一种方法是利用和前面中序、前序第二种方法类似的方法进入压栈出栈，但是要借助额外的标记次数，一个节点访问第二次才能输出。(这个访问第一次是入栈，第二次是子树解决完毕自己即将出栈（先不出栈）)。

法1(传统方法)

在前面的前序和中序先到最左侧压入栈的时候，两种顺序依次是

• 前序: 中入栈——>左入栈——>左出栈——>中出栈——>右入栈——>右孩子入出——>右出栈 在入栈时候操作即可前序
• 中序: 中入栈——>左入栈——>左出栈——>中出栈——>右入栈 ——>右孩子入出——>右出栈按照出栈顺序即可完成中序

而在后序遍历中：它有这样的规则：

• 入栈，第一次访问
• 即将出栈。第二次访问，
• 如果有右孩子，先不出栈把右孩子压入栈第一次访问，如果没右孩子。访问从栈中弹出。
• 循环重复，直到栈为空

实现代码为(用map记录节点出现次数)：

public void houxu2(node t) 
	Stack<node> q1 = new Stack();	
	Map<Integer,Integer >map=new HashMap<>();
	while(!q1.isEmpty()||t!=null)
	
		if (t!=null) 
			q1.push(t);
			map.put(t.value, 1); //t.value标记这个值节点出现的次数
			t=t.left;
		
		else 
			t=q1.peek();
			if(map.get(t.value)==2) //第二次访问，抛出
				q1.pop();
				System.out.print(t.value+" ");
				t=null;//需要往上走
			
			else 
				map.put(t.value, 2);
				t=t.right;
			
			
		
	

法2(双栈)：

另一种方法是借助双栈进行处理。我们曾在前序方法一借助一个栈右压，左压。持续让达到一个前序遍历的效果。但是这个方法很难实现后续。

• 分析相同方法，如果我们先压左，再压右，那么我们获得的顺序将是和前序完全相反的顺序（顺序为：中间，右侧，左侧。倒过来刚好是左侧、右侧、中间的后续）对称看起来的前序。即用另一个栈将序列进行反转顺序！
  
  如果再这个过程，我们利用另一个栈进行储存，将它的首次入栈用一个栈存入，相当于起到一个反转的作用。
  
  实现代码为：

public void houxu3(node t)// q1和q2 q1要先右后左，先遍历右侧，q1先装右侧就把右侧放到前面，左侧放在上面（栈顶）

	Stack<node> q1 = new Stack();
	Stack<node> q2 = new Stack();
	if (t == null)
		return;
	if (t != null) 
		q1.push(t);
	
	while (!q1.isEmpty()) 
		node t1 = q1.pop();
		q2.push(t1);
		if (t1.left != null) 
			q1.push(t1.left);
		
		if (t1.right != null) 
			q1.push(t1.right);
		
	
	while (!q2.isEmpty()) 
		node t1 = q2.pop();
		System.out.print(t1.value + " ");
	

总结

测试结果：

这部分内容比较多，也可能比较杂，希望大家好好吸收，也可能笔者写的大意或者错误。还请大佬指正。！

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