班级娱乐赛 K短路计数

Posted 2022-08-10 bigyellowdog

K短路计数

• 同学出的题目，有原题的，但找不到了。

Description

• 题目背景(来源):小 L 从《挑战程序设计竞赛》中翻到了一道图论(暴力)好题。

  给定一个 n 个定顶点,边长为 1 的有向图邻接矩阵。求这个图中长度为 k 的不同的路径

  总数。(不懂看样例)

  1.路径中同一条边可经过多次。

  2.输出答案对(1e7)+7 取模。

  3.图中会有自环。

Input

• 输入文件名为 count.in。

  输入第一行为两个用空格隔开正整数,分别为 n 和 k 的值。

  接下来输入 n 行(一个普通的邻接矩阵(不懂看样例)),

  每行 n 个用空格隔开的数字(1/0),代表着从 u 到 v(有/没有)连着一条有向边。

Output

• 输出文件名为 count.out。

  输出一个整数,为图中长度为 k 的路径总数。

Sample Input

3 2

0 1 0

1 0 1

1 0 0

Sample Output

5

题解：

• 矩阵乘法。
• 会了就是裸题，不会的话，还挺有思考价值的。
• 思考原图，如果将原图每个位置的值相加，答案是长度为1的的路径数，显然。
• 那么，如果长度要为2，就要在原图的基础上，枚举一次中转点。例如，有3个点。原来1 -> 2是一条路，这时我就要尝试以2为中转点，看看2到1/2/3有没有路。假设2 -> 3有两条路。那么1 -> 3就有1 * 2 = 2路。
• 仔细观察，发现以一个点为中转点进行尝试时，刚好跟矩阵乘法的运算顺序是一样的。
• 那么每枚举一个中转点等价于做一个矩阵乘法。那么答案就是(原图矩阵的k次方)所以位置元素之和了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 105
#define hry 10000007
#define int long long
#define re register
using namespace std;

struct A

    int m[N][N];
    A() memset(m, 0, sizeof(m));
 a;
int n, k, ans;

inline A mul(A x, A y)

    A z;
    for(re int i =1 ; i <= n; i++)
        for(re int j = 1; j <= n; j++)
            for(re int k = 1; k <= n; k++)
                z.m[i][j] += x.m[i][k] * y.m[k][j],
                z.m[i][j] %= hry;
    return z;


inline A power(A a, int b)

    A r = a, base = a;
    while(b)
    
        if(b & 1) r = mul(r, base);
        base = mul(base, base);
        b >>= 1;
    
    return r;


signed main()

    cin >> n >> k;
    for(re int i = 1; i <= n; i++)
        for(re int j = 1; j <= n; j++)
            cin >> a.m[i][j];
    a = power(a, k - 1);
    for(re int i = 1; i <= n; i++)
        for(re int j = 1; j <= n; j++)
            ans += a.m[i][j], ans %= hry;
    cout << ans;
    return 0;