AtCoder ARC 100

Posted 2022-08-10 papercloud

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C-Linear Approximation

给出\(N\)个数\(A_1,A_2,...,A_N\) ，求一个数\(d\)，最小化\(\sum_i=1^N|A_i-(d+i)|\)

把\(A_i-i\)排个序，选取\(d=\)它们的中位数

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define dbg1(x) cerr<<#x<<"="<<(x)<<" "
#define dbg2(x) cerr<<#x<<"="<<(x)<<"\n"
#define dbg3(x) cerr<<#x<<"\n"
using namespace std;
#define reg register
inline int read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();
    return x*f;

int a[200005];
ll ans;
int main()

    int N=read();
    reg int i;
    for(i=1;i<=N;++i) a[i]=read()-i;
    std::sort(a+1,a+N+1);
    int mid=(N+1)/2;
    for(i=1;i<=N;++i) ans+=abs(a[i]-a[mid]);
    return 0*printf("%lld\n",ans);

D-Equal Cut

将数列分成\(4\)段，最小化“最大段的和-最小段的和”的绝对值

枚举第二个断点，然后第一个和第三个显然要满足两边的段和的差值最小

可以二分，但是发现选择的位置是单调的，可以\(O(N)\)完成

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define dbg1(x) cerr<<#x<<"="<<(x)<<" "
#define dbg2(x) cerr<<#x<<"="<<(x)<<"\n"
#define dbg3(x) cerr<<#x<<"\n"
using namespace std;
#define reg register
inline ll read()

    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();
    return x*f;

const int MN=2e5+5;
ll a[MN],N,t1,t2,t3,ans;
ll cal(ll x,ll y,ll z)

    ll _1=a[x],_2=a[y]-a[x],_3=a[z]-a[y],_4=a[N]-a[z];
    return abs(max(max(_1,_2),max(_3,_4))-min(min(_1,_2),min(_3,_4)));

int main()

    N=read();
    reg int i;
    for(i=1;i<=N;++i) a[i]=read()+a[i-1];
    t1=1;t2=2;t3=3;ans=cal(1,2,3);
    for(;t2<=N-2;++t2)
    
        while(t1+1<t2&&abs(a[t2]-2*a[t1+1])<abs(a[t2]-2*a[t1]))++t1;
        while(t3+1<N&&abs(a[N]-2*a[t3+1]+a[t2])<abs(a[N]-2*a[t3]+a[t2]))++t3;
        ans=min(ans,cal(t1,t2,t3));
    
    return 0*printf("%lld\n",ans);

E-Or Plus Max

给出\(2^N\)个数\(a_0,a_1,...a_2^N-1\)，对于\(k=1,2,...,2^N-1\)

求出\(Max(a_i+a_j)\)，其中\(0\le i<j\leq 2^N-1,i \ or \ j\leq k\)

用求子集和的方法（恰好能保证每个子集只出现了一次）求出子集内的最大和次大值

最后取当前缀最大值为当前集合的答案

/*8.20*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define dbg1(x) cerr<<#x<<"="<<(x)<<" "
#define dbg2(x) cerr<<#x<<"="<<(x)<<"\n"
#define dbg3(x) cerr<<#x<<"\n"
using namespace std;
#define reg register
#define P pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
inline int read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();
    return x*f;

const int MN=262200;
int N,S,ans;
P a[MN];
P Merge(P a,P b)if(a.fi<b.fi)swap(a,b);return mp(a.fi,max(a.se,b.fi));
int main()

    N=read();S=1<<N;
    reg int i,j;
    for(i=0;i<S;++i)a[i]=mp(read(),0);
    for(j=0;j<N;++j)for(i=0;i<S;++i)if(i>>j&1)
        a[i]=Merge(a[i],a[i^(1<<j)]);
    for(i=1;i<S;++i)ans=max(ans,a[i].fi+a[i].se),printf("%d\n",ans);
    return 0;
    return 0;

F-Colorful Sequences

题意：定义一个长度为\(N\)，字符集大小为\(K\)的序列是好的，当且仅当其中存在一个长度为\(K\)的子串满足\(1\)到\(K\)每个数恰好出现一次。给一个长度为\(M\)的序列\(A\)，问在所有长度为\(N\)的好的序列里，\(A\)作为子串的出现次数的和。

序列\(A\)在所有序列中的出现次数是\((N-M+1)K^N-M\)

现在只要减去\(A\)在不好的序列中的出现次数就行了

1. \(A\)本身就是好的，那么不存在\(A\)在不好的序列中出现的情况

2. 好的序列的好的子段可以利用\(A\)中全部的数（换言之：\(A\)中出现的数各不相同）

   长度为\(M\)的出现的数均不相同的序列一共为\(A_K^M=\fracK!(K-M)!\)，它们均等价

   所以可以先求出所有上述序列的出现次数之和

   问题变为：求出所有长度为\(N\)的不好序列中长度为\(M\)的“出现的数各不相同”的子串的总数量

   这可以\(DP\)。

   \(f_i,j\)表示所有长度为\(i\)的序列中，满足末尾最长长度为\(j\)的子串中元素各不相同的方案数

   \(g_i,j\)表示\(f_i,j\)所表示的序列中，无重\(M\)长的子串一共又多少个
   \[ f_i,j=(K-j+1)f_i-1,j-1+\sum_h=j^K-1f_i-1,h \g_i,j=(K-j+1)g_i-1,j-1+\sum_h=j^K-1g_i-1,h+[j\geq M]f_i,j \]
   需要前缀和优化，复杂度\(O(N\times K)\)

3. 好的序列的好的子段只能\(A\)的前缀/后缀的部分（换言之：\(A\)中存在相同的数）

   分别对最长无重复前缀和最长无重复后缀进行\(Dp\)

   然后枚举\(A\)串出现的位置进行计数

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define dbg1(x) cerr<<#x<<"="<<(x)<<" "
#define dbg2(x) cerr<<#x<<"="<<(x)<<"\n"
#define dbg3(x) cerr<<#x<<"\n"
using namespace std;
#define reg register
inline int read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();
    return x*f;

const int MN=25005,MK=405,P=1e9+7;
int Mul(int x,int y)return 1ll*x*y%P;
int Add(int x,int y)return (x+y)%P;
int fp(int x,int y)int r=1;for(;y;y>>=1,x=Mul(x,x))if(y&1)r=Mul(r,x);return r;
int N,K,M,ans,a[MN],fac[MN],inv[MN],fi[MN];
int sf[MN][MK],f[MN][MK],sg[MN][MK],g[MN][MK];
bool chk1()

    static int ton[MK],num;
    reg int i;
    if(M<=K)return false;
    num=0;
    for(i=1;i<=K;++i)num+=!ton[a[i]]++;
    if(num==K) return true;
    for(i=K+1;i<=M;++i)
    
        num-=!--ton[a[i-K]];
        num+=!ton[a[i]]++;
        if(num==K) return true;
    
    return false;

int chk2()

    static int ton[MK],num;
    memset(ton,0,sizeof ton);
    reg int i;num=0;
    for(i=1;!ton[a[i]]&&i<=M;++i)num+=!ton[a[i]]++;
    return num;

int main()

    N=read(),K=read(),M=read();
    reg int i,j,Z=max(N,K);
    for(fac[0]=i=1;i<=Z;++i)fac[i]=Mul(fac[i-1],i);
    for(inv[0]=inv[1]=1,i=2;i<=Z;++i)inv[i]=Mul(inv[P%i],(P-P/i));
    for(fi[0]=i=1;i<=Z;++i)fi[i]=Mul(fi[i-1],inv[i]);
    for(i=1;i<=M;++i) a[i]=read();
    ans=Mul(N-M+1,fp(K,N-M));
    if(chk1())return 0*printf("%d\n",ans);
    f[0][0]=1;
    for(i=1;i<=N;++i)for(j=1;j<K;++j)
    
        f[i][j]=Add(Mul(f[i-1][j-1],K-j+1),Add(sf[i-1][K-1],P-sf[i-1][j-1]));
        g[i][j]=Add(Mul(g[i-1][j-1],K-j+1),Add(sg[i-1][K-1],P-sg[i-1][j-1]));
        if(j>=M)g[i][j]=Add(g[i][j],f[i][j]);
        sf[i][j]=Add(sf[i][j-1],f[i][j]);
        sg[i][j]=Add(sg[i][j-1],g[i][j]);
    
    if(chk2()==M)
    
        int tmp=Mul(sg[N][K-1],Mul(fac[K-M],fi[K]));
        ans=Add(ans,P-tmp);
        printf("%d\n",ans);
        return 0;
    
    else
    
        int tmp=0,Mi,Ma,lm=chk2(),rm;
        reverse(a+1,a+M+1);rm=chk2();
        for(i=1;i<=N-M+1;++i)
        
            int ii=i+lm-1,jj=N-i-M+1+rm,_1=0,_2=0;bool fl=ii==lm;
            for(j=lm;j<K;++j) _1=Add(_1,Mul(Mul(f[ii][j],Mul(fac[K-j],fi[K])),Mul(fac[K-lm],fi[K-j])));
            for(j=rm;j<K;++j) _2=Add(_2,Mul(Mul(f[jj][j],Mul(fac[K-j],fi[K])),Mul(fac[K-rm],fi[K-j])));
            tmp=Add(tmp,Mul(_1,_2));
        
        ans=Add(ans,P-tmp);
        printf("%d\n",ans);
        return 0;
    

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