AcWing 走廊泼水节

Posted 2022-08-10 bigyellowdog

AcWing 走廊泼水节

Description

• 给定一棵N个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。

  求增加的边的权值总和最小是多少。

Input

• 第一行包含整数t，表示共有t组测试数据。

  对于每组测试数据，第一行包含整数N。

  接下来N-1行，每行三个整数X,Y,Z，表示X节点与Y节点之间存在一条边，长度为Z。

Output

• 每组数据输出一个整数，表示权值总和最小值。

  每个结果占一行。

Sample Input

2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5 

Sample Output

4
17 

Data Size

• N≤6000,Z≤100

题解：

• 最小生成树。

• 思考库鲁斯卡尔的构造过程。先按边权大小排序，每次取一条边，如果边两端的点不在一个集合，就连这条边。那么对于此题，因为是完全图。如果边两段的点不在一个集合，那么两个集合会产生的边数是集合A的点数 * 集合B的点数。那么我们要构造的边就是（点数 * 集合B的点数 - 1）。边权显然必定是此边的边权 + 1。

• 那么并查集维护就行。（顺带一提，并查集路径压缩和按秩合并可以一起用..

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 6005
#define int long long
using namespace std;

struct E int u, v, w; e[N];
int T, n, cnt, ans;
int fat[N], size[N];

int getFat(int x)

    if(x == fat[x]) return x;
    return fat[x] = getFat(fat[x]);


void merge(int x, int y, int z)

    int fx = getFat(x), fy = getFat(y);
    ans += (size[fx] * size[fy] - 1) * (z + 1);
    if(size[fx] > size[fy]) swap(fx, fy);
    size[fy] += size[fx], fat[fx] = fy;


int read()

    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') if(c == '-') f = -1; c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();
    return x *= f;


bool cmp(E x, E y) return x.w < y.w;

signed main()

    cin >> T;
    while(T--)
    
        n = read(), cnt = ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            fat[i] = i, size[i] = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++)
        
            e[++cnt].u = read();
            e[cnt].v = read();
            e[cnt].w = read();
        
        sort(e + 1, e + 1 + cnt, cmp);
        for(int i = 1; i < n; i++)
            if(getFat(e[i].u) != getFat(e[i].v))
                merge(e[i].u, e[i].v, e[i].w);
        printf("%lld\n", ans);
    
    return 0;