二次剩余
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了二次剩余相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
二次剩余
定义：
若\(x^2\equiv a(mod\ p)\ \ \ (a\in[1,p))\)有解，则称\(a\)为\(p\)的二次剩余。否则称\(a\)为\(p\)的二次非剩余。
勒让德符号：
定义：
\((\fracap)=\begincases1&(a是p二次剩余)\\-1&(a是p的二次非剩余)\endcases\)
定理1：
\(p\)有\(\fracp-12\)个二次剩余和\(\fracp-12\)个二次非剩余。
证：
\(\because u^2\equiv v^2(mod\ p)\)
\(\therefore p\mid(u+v)(u?v)\)。
\(\because p\nmid (u-v)\)
\(\therefore p\mid(u+v)\)
反之亦成立。因此共有\(\fracp?12\)种不同的平方。且每一个\(p\)的二次剩余恰有两个解。
定理2：
\((\fracap)\equiv a^\fracp-12(mod\ p)\)
证：
\(\because a^p-1\equiv 1(mod\ p)\)
\(\therefore a^\fracp-12\equiv\pm1(mod\ p)\)有且仅有一式成立
若\(a\)是\(p\)的二次剩余，一定存在\(x_0^2\equiv a(mod\ p)\)。
\(\therefore x_0^p-1\equiv a^\fracp-12(mod\ p)\)
\(\because x_0^p-1\equiv 1(mod\ p)\)
\(\therefore a^\fracp-12\equiv 1(mod\ p)\)
反之亦成立，即\((\frac ap)=1\Leftrightarrow a^\fracp-12\equiv 1(mod\ p)\)
\(\therefore (\frac ap)=-1\Leftrightarrow a^\fracp-12\equiv -1(mod\ p)\)
Cipolla算法
假如我们要解\(x^2\equiv n(mod\ p)\)
先\(rand\)一个\(a\)，使得\((\fraca^2-np)=-1\)即\((a^2-n)^\fracp-12\equiv-1(mod\ p)\)，期望\(rand\)次数为\(2\)。
然后我们定义\(w=\sqrta^2-n\)为虚数单位\((\)类似于\(i=\sqrt-1)\)，然后我们可以得到一个全新的域，这个数域中所有的数都可以表示为\(a+bw\)。
然后我们再来证几个东西。
定理3：
\(w^p\equiv-w(mod\ p)\)
证：
\(w^p\equiv w*w^p-1\equiv w*(w^2)^\fracp-12\equiv w*(a^2-n)^\fracp-12\equiv-w(mod\ p)\)
定理4：
\((a+b)^p\equiv a^p+b^p(mod\ p)\)
证：
\((a+b)^p\equiv a^p+b^p+\sum\limits_i=1^p-1C_p^ia^ib^p-i\equiv a^p+b^p(mod\ p)\)
拉格朗日定理：
若\(f(x)\equiv\sum\limits_i=0^na_ix^i(mod\ p)\)，则\(f(x)\equiv 0(mod\ p)\)在模\(p\)意义下最多有\(n\)个不同解。
然后我们定义这个域有什么用呢？
\(x\equiv(a+w)^\fracp+12(mod\ p)\)
证：
\(x^2\equiv(a+w)^p+1\equiv(a+w)^p(a+w)\equiv(a^p+w^p)(a+w)\equiv(a-w)(a+w)\equiv a^2-w^2\equiv n(mod\ p)\)
然后根据拉格朗日定理，这个结果一定是整数。
解决。
Gauss二次互反律
\(p,q\)为不相等的奇素数，\((\fracpq)(\fracqp)=(-1)^\frac(p-1)(q-1)4\)。
以上是关于二次剩余的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章