AC自动机详解

Posted 2022-08-08 teos

首先，看清楚了，这是AC自动机不是自动AC机

引用AC自动机模板题上的一句话：

 

ovo

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在学习AC自动机之前，应该先掌握一下两个前置技能：

• Trie
• KMP

AC自动机，通俗地讲，就是在Trie上跑KMP。AC自动机利用Trie的性质和KMP的思想，可以实现字符串的多模匹配。KMP是单模匹配，而它与AC自动机最大的区别就在fail指针的求法，其余思想基本相同。

所谓多模匹配，即给出若干个模式串和一个文本串，需要查找这些模式串在文本串中出现的情况。

AC自动机的操作分为三步：

• 建树
• 求fail指针
• 字符串匹配

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一、建树

既然是要利用Trie,自然要先建立一棵Trie了。本文以she,he,say,her,shr五个字符串为例建立一棵Trie: 

其中，root为根节点，绿色节点表示该节点为某个单词的结尾，也就是结尾标记。

AC自动机的建树方法与Trie完全相同，在这里就不再赘述。

建树代码：

void add(string s)

    int p=0;
    for(int i=0;i<s.size();i++)
    
        if(!ac[p].son[s[i]-‘a‘])
            ac[p].son[s[i]-‘a‘]=++tot;
        p=ac[p].son[s[i]-‘a‘];
    
    ac[p].end++;

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二、求fail指针

求fail指针是AC自动机最精髓的地方，也是最大的难点。不过，在掌握了KMP算法之后，理解起来也不难。

AC自动机中fail指针的作用与KMP中next数组的作用相同，都是在当前字符串失配时跳转到它指向的位置继续匹配。而AC自动机之所以能够进行多模匹配，就是因为fail指针。

在AC自动机中，fail指针用BFS来求。

步骤：

1. 建立一个队列
2. 将根的fail指针指向自己
3. 将与根相连的节点的fail指针指向根，并将它们入队
4. 取出队头h，遍历它的儿子。设当前遍历到的儿子节点为x，找到h节点的fail指针指向的节点，设其为k
5. 若k有与x相同的儿子s，则将x的fail指针指向s；否则，找到k的fail指针，重复第5步，若一直都没有找到，则将x的fail指针指向根节点。将x入队，重复第4、5步，直到队列为空

仍然以she,he,say,her,shr五个字符串为例，如图：

 

1. 如图中红线所示，将与root相连的h、s的fail指针指向root并将它们入队
2. 如图中蓝线所示，取出h，找到h的儿子e，因为h的fail指针指向root且root的儿子没有e，因此e的fail指针指向root，并将e入队；取出s，找到s的儿子a，因为s的fail指针指向root且root的儿子没有a，因此a的fail指针指向root，并将a入队；找到s的儿子h，因为h的fail指针指向root且root的儿子有h，因此h的fail指针指向与root相连的h，并将h入队
3. 如图中绿线所示，取出e，找到e的儿子r，因为e的fail指针指向root且root的儿子没有r，因此r的fail指针指向root，并将r入队；取出a，找到a的儿子y，因为a的fail指针指向root且root的儿子没有y，因此y的fail指针指向root，并将y入队；取出h，找到h的儿子e，因为h的fail指针指向与root相连的h且该节点的儿子有e，因此e的指针指向与root相连的h的儿子e，并将e入队；找到h的儿子r，因为h的fail指针指向与root相连的h且该节点的儿子没有r，因此找到与root相连的h的fail指针指向的root，而root的儿子也没有r，因此r的指针指向root，并将r入队
4. 最后，取出r,y,e,r，发现它们均没有儿子节点。此时队列为空，停止遍历。

队列的状态是这样的：

h s
s e
e a h
a h r
h r y
r y e r

这样讲可能有点乱，请结合图和队列状态理解，不会难。

在实际实现过程中，若一直重复以上的第4、5步，时间复杂度难免会高。这里有一个巧妙的方法：当发现一个节点x没有某一个儿子s时，直接将s作为指针指向x的fail指针与s相同的这个儿子。这样实际上就是在模拟第4、5步反复查找的过程，这个指针会从上到下传递下来。因为当我们将根节点的编号设为0时，若一个节点没有儿子，就相当于这个儿子作为指针指向了根节点。这样可以更加方便地实现第4、5步。

求fail指针代码：

void build()

    for(int i=0;i<26;i++)
        if(ac[0].son[i])
        
            ac[ac[0].son[i]].fail=0;
            q.push(ac[0].son[i]);
        //将与根相连的节点的fail指针指向根节点并将它们入队
    while(q.size())
    
        int now=q.front();
        q.pop();//取出队头
        for(int i=0;i<26;i++)
            if(ac[now].son[i])
            
                ac[ac[now].son[i]].fail=ac[ac[now].fail].son[i];
                q.push(ac[now].son[i]);
            
            else
                ac[now].son[i]=ac[ac[now].fail].son[i];
    //重复第4、5步

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三、字符串匹配

字符串匹配的思想与KMP基本相同，实现方式与Trie上查找字符串类似。将文本串从头到尾一位一位在Trie上查找，对于每一个节点，若没有被遍历过，沿着它的fail指针走，直到根节点或一个已遍历过的点。对于路径上的所有点，将答案加上它的结尾标记，即当前节点为几个字符串的结尾，然后将其结尾标记改为-1，以显示其已遍历过。

还是以这个图为例： 

若文本串为yasherhs，则：

1. 对于y,a,Trie中没有对应的路径
2. 对于s,h,e，在Trie中可以沿着root-s-h-e这条路径走到第四层节点e，答案加1，沿着其fail路径向上可以走到第三层节点e，答案加1；
3. 对于r，此时指针指向第四层节点e的儿子指向的节点，也就是其fail指针指向的第三层节点e，随后指向右下角节点r，答案加1；
4. 对于h,s，因为已经遍历过了，因此不会再进行遍历

为什么走到一个已遍历过的点也要停止呢？因为若一个节点已被遍历，则沿着它的fail指针走直到根节点的这条路径上的所有节点一定都被遍历过了，若在走一遍则属于浪费时间，因此直接停止即可。

字符串匹配代码：

int get()

    int p=0,ans=0;
    for(int i=0;i<f.size();i++)
    
        p=ac[p].son[f[i]-‘a‘];
        for(int j=p;j && ac[j].end!=-1;j=ac[j].fail)
        
            ans+=ac[j].end;
            ac[j].end=-1;
        
    
    return ans;

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最后奉上完整代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e6;
int tot=0,n;
string f;
queue<int> q;
struct T

    int end=0,fail=0,son[26];分别表示结尾标记，fail指针和儿子节点
ac[N];
void add(string s)

    int p=0;
    for(int i=0;i<s.size();i++)
    
        if(!ac[p].son[s[i]-‘a‘])
            ac[p].son[s[i]-‘a‘]=++tot;
        p=ac[p].son[s[i]-‘a‘];
    
    ac[p].end++;
//建树
void build()

    for(int i=0;i<26;i++)
        if(ac[0].son[i])
        
            ac[ac[0].son[i]].fail=0;
            q.push(ac[0].son[i]);
        
    while(q.size())
    
        int now=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0;i<26;i++)
            if(ac[now].son[i])
            
                ac[ac[now].son[i]].fail=ac[ac[now].fail].son[i];
                q.push(ac[now].son[i]);
            
            else
                ac[now].son[i]=ac[ac[now].fail].son[i];
    
//求fail指针
int get()

    int p=0,ans=0;
    for(int i=0;i<f.size();i++)
    
        p=ac[p].son[f[i]-‘a‘];
        for(int j=p;j && ac[j].end!=-1;j=ac[j].fail)
        
            ans+=ac[j].end;
            ac[j].end=-1;
        
    
    return ans;
//字符串匹配
int main()

    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        string s;
        cin>>s;
        add(s);
    //输入模式串并插入Trie
    ac[0].fail=0;//将根节点的fail指针指向自己，其实这步可以不要，因为默认就是0
    build();//求fail指针
    cin>>f;
    cout<<get()<<endl;//输入文本串并匹配，直接输出答案
    return 0;

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习题：

• 基础模板题：P3808，P3796
• 进阶模板题：P5357

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声明：本文部分内容参考了一些大佬的博客

参考资料：

AC自动机算法详解 （转载）

AC自动机-巨佬yyb

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2019.5.2 于厦门外国语学校石狮分校