第60届IMO 第5题

Posted 2022-08-06 lau1997

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题目

 

巴斯银行发行的硬币在一面上铸有H,在另一面上铸有T,哈利有枚这样的硬币并将这些硬币从左至

右排成一行,他反复地进行如下操作:如果恰有k(>0)枚硬币H面朝上,则他将从左至右的第k枚硬币

翻转;如果所有硬币都是T面朝上则停止操作,例如:当n=3,并且初始状态是THT,则操作过程为
THT→HHT→HTT→TTT,总共进行了三次操作后停止

证明:对每个初始状态,哈利总在有限次操作后停止

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解答

 

将问题转化为：H的个数总会在有限次操作后-1

设最右端的H坐标为x，易知x>=k

当x=k时，前x个全为H，后面全为T，易知经过x次操作后，变为全T

当x>k时，分为两种情况

1）当第k个为H时，H翻转变为T，H个数-1

2）当第k个为T时，T翻转变为H，H个数+1，向右走，因为第k到第x（包含x）必然有H，设第k个右侧第一个H坐标为k+a，则k到k+a全是T，因为只要是T就会翻转变为H，又会往右走，所以会一直向右走，直到遇见右侧第一个H（坐标k+a），之后H变为T，H的个数-1，向左走，又因为此时从k到k+a-1，全已经翻转变为了H，所以当K+a的H变为T之后向左走又会导致左边的H变为T，H的个数又减少，又会向左走，直到回到坐标k，又由于k为H，所以H-1，H的个数变为k-1

 

综上所述，任何情况都会经过有限步使H个数-1，所以任何情况都会经过有限步使H个数变为0即全为T，即总会经过有限次操作后停止。