MST（最小生成树+倍增）

Posted 2022-08-04 harrypotter-fan

题目描述：

给定一个n个点m条边的连通图，保证没有自环和重边。对于每条边求出,在其他边权值不变的情况下,它能取的最大权值，使得这条边在连通图的所有最小生成树上。假如最大权值为无限大，则输出-1。

题解：

先求出图的一棵最小生成树：

对于不在树上的边(x,y)， 它的权值只要小于树上x到y路径中一条边就可以代替这条边。

对于在树上的边(x,y)，可以先预处理出所有两端在x到y路径上的不在树上的边的最小值。它的权值一定要小于最小值。

路径max和min都可以用倍增求。 

时间复杂度O(nlogn)

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const int N=2e5+5;
inline int read()
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();  
    return x*f;

int n,m,cnt=0,head[N];
int vis[N],ans[N];
int fa[N],dep[N],id[N];
int f[N][20],maxn[N][20];
struct data
    int x,y,dis,id;
a[N];
struct Edge
    int v,w,nxt,id;
edge[N<<1];
void add_edge(int u,int v,int w,int id)
    edge[++cnt].v=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].id=id;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;

int find(int x)
    if(fa[x]==x) return fa[x];
    else return fa[x]=find(fa[x]);

bool cmp(data a,data b)
    return a.dis<b.dis;

void build()
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        int x=a[i].x;
        int y=a[i].y;
        if(find(x)!=find(y))
            fa[find(x)]=find(y);
            vis[a[i].id]=1;
            add_edge(x,y,a[i].dis,a[i].id);
            add_edge(y,x,a[i].dis,a[i].id);
        
    

void dfs(int u)
    for(int i=1;i<=18;i++)
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
        maxn[u][i]=max(maxn[u][i-1],maxn[f[u][i-1]][i-1]);
    
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
        int v=edge[i].v;
        int w=edge[i].w;
        if(v==f[u][0]) continue;
        dep[v]=dep[u]+1;
        id[v]=edge[i].id;
        f[v][0]=u;
        maxn[v][0]=w;
        dfs(v);
    

void solve(int x,int y,int dis)
    x=find(x);
    while(dep[x]>dep[y])
        ans[id[x]]=min(ans[id[x]],dis-1);
        int k=find(f[x][0]);
        fa[x]=k;
        x=find(x);
    

int get(int x,int y,int &lca)
    int ans=0;
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=18;i>=0;i--)
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y])
            ans=max(ans,maxn[x][i]);
            x=f[x][i];
        
    if(x==y)
        lca=x;
        return ans;
    
    for(int i=18;i>=0;i--)
        if(f[x][i]!=f[y][i])
            ans=max(ans,maxn[x][i]);
            ans=max(ans,maxn[y][i]);
            x=f[x][i],y=f[y][i];
        
    
    lca=f[x][0];
    return max(ans,max(maxn[x][0],maxn[y][0]));

int main()
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        a[i].x=read();a[i].y=read();a[i].dis=read();
        ans[i]=2e9; a[i].id=i;
    
    build();dfs(1);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(!vis[a[i].id])
            int x=a[i].x,y=a[i].y,z;
            ans[a[i].id]=get(x,y,z)-1;
            solve(x,z,a[i].dis);
            solve(y,z,a[i].dis);
        
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(ans[i]==2e9) printf("-1 ");
        else printf("%d ",ans[i]);