樱花（信息学奥赛一本通 1624）

Posted 2022-08-04 ljy-endl

【题目描述】

原题来自：HackerRank Equations

求不定方程： 1/x + 1/y = 1/n!

的正整数解 (x,y)的数目。

【输入】

一个整数 n。

【输出】

一个整数，表示有多少对 (x,y) 满足题意。答案对 10⁹+7 取模。

【输入样例】

2

【输出样例】

3

【提示】

样例说明

共有三个数对 (x,y) 满足条件，分别是 (3,6),(4,4) 和 (6,3)。

数据范围与提示:

对于 30% 的数据，n≤100；

对于全部数据，1≤n≤10⁶ 。

---

 

（这里不得不吐糟一下，书上把题目打错了啦，n!写成了n，害得我还以为这道题可以暴力去做，结果光荣的爆零了(▼⊿▼)）

首先呢就是用数学方法把这个不定方程变化一下，令y=n+a（x、y肯定比n大啦，可以自己推导一下），很容易就得到了 x = (n!*n!) / a+ n!

那么因为n!为整数、x也为整数，所以(n!*n!) / a一定也为整数。那要求x的个数的话就是要求满足(n!*n!) / a为整数的a的个数啦

所以说这道题很快就转化成了一道求约数个数的题目。

然后就是唯一分解定理和约数个数定理...

上代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N=1e6+1,M=1e9+7;
 4 int a[N],n,v[N],cnt,b[N],num[N];//b[x]表示x的最小质因子是质数中的第几号 
 5 long long ans=1;
 6 int read()
 7 
 8     int x=0,f=1;
 9     char ch=getchar();
10     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)
11     
12         if(ch==‘-‘) f=-1;
13         ch=getchar();
14     
15     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
16     
17         x=x*10+ch-‘0‘;
18         ch=getchar();
19     
20     return x*f;
21 
22 void write(int x)
23 
24     if(x<0)
25     
26         putchar(‘-‘);
27         x=-x;
28     
29     if(x>9) write(x/10);
30     putchar(x%10+‘0‘);
31 
32 void pre()
33 
34     for(int i=2;i<=1000000;i++)
35     
36         if(!v[i])a[++cnt]=i,b[i]=cnt;
37         for(int j=1;j<=cnt&&a[j]*i<=1000000;j++)
38         
39             v[i*a[j]]=1;b[i*a[j]]=j; 
40             if(i%a[j]==0)break;
41         
42     
43 
44 void ff(int x)
45 
46     while(x!=1)
47     
48         num[b[x]]++;//num[i]表示i这个序号代表的质因子出现的次数（也就是b[i]的幂的次数啦） 
49         x/=a[b[x]];//x不断更新 
50     
51 
52 int main()
53 
54     
55     n=read();
56     pre();
57     for(int i=2;i<=n;i++)
58         ff(i);
59     for(int i=1;i<=cnt;i++)
60         ans=ans*(num[i]*2+1)%M;
61     printf("%lld",ans);
62     return 0;
63 

//参考：这位大佬讲的hin好，点击%大佬的博客