征途堆积出友情的永恒「堆优化dp」

Posted 2022-08-04 wang-hesong

直接写题解：

很简单的dp暴力转移式子：f[i]=MAXf[j]+max(tax[j],sum[i]-sum[j])

观察式子，只有一个变量sum[i];

而其他都为定量;

则考虑维护 两个定量：f[j]+tax[j]   ||  f[j]-sum[j]

而要找耗费最小;考虑用堆维护一个量;

注意是一个量;

为什么不是两个量？

想想，你在dp式子中取的max;不是取tax[j]就是取deta(sum);

那就是说如果你使一个量主动;那么另一个量就是被动的，、由你确定的这个量决定的

所以就维护tax[j]+f[j];

按大小排序;然后取最优值;

设 pay=q.top.w;  (tax[j]+f[j])

若pay>=f[j]-sum[j]+sum[i];那就用它呗，反正是合法的;

若pay<f[j]-sum[j]+sum[i] 那这种方案就不合法;那就把他的被动决策塞入另一个堆中维护;

那么会形成两个堆，两个堆中的状态都是合法的，然后直接取堆顶元素就是最优的;

而可能你会想到那第一个堆中的元素pop掉了，会不会有后效性;

其实不会;因为sum[i]-sum[j]   的sum[j]固定而sum[i]递增;

所以当他从1pop出去后，他在2中就会一直呆着了;

总结：

1.对于这种dp优化，若dp式子中出现变量很少而定量很多，就要考虑到维护定量;

2.而对于dp式子中有max（），min（）之类的，说明主动决策决定被动决策;所以考虑维护两个决策中较容易维护的一方;然后让另一方成为被动;若遇到维护的值不再偏向于己方;

那就把这种状态pop掉，转换成另一方;让这种状态继续合法;对答案做贡献;

3.注意2中max的决策单调性;例如这个题中max有单调性，就可以无后效性的转化;

代码应该自己实现！