递归问题

Posted 2022-08-03 suwakow

1.河内塔问题

• 数学归纳法：①对最小规模时成立；②设对\(n=[1,k]\)时成立，证明对于\(n=k+1\)时也成立。于是问题对任意规模都成立。

它可以与递归的模型天然地结合在一起。

实际问题->递归式->数学归纳法->通项公式

• 通过处理递归式的某些项会使得数学归纳更加简单。

2.平面上的直线

• 展开递归式是求通项公式的好方法。

• 对于不易直接分析的实例，可以讨论“损失”了多少。

3.JOJO问题

• 对于一个递归式，把它的部分常量替换为未知数，希望求出它的通项公式中每个未知数的系数。

此时可以把每个未知数取一些特殊值，代入递归式中。

更加通用的方法是找一些简单的函数，令它满足递归式，借此列出方程，解出未知数的值。通过这种方式寻找未知数系数之间的联系，从而列出关于未知数系数的方程。

注意到有多少独立的未知数，我们就需要列出多少组方程。

同时，解除递归式中一些既定的限制（进制等），可以将递归式推广到更为一般的情况。

4.热身题

1. 问题出在“类似的”，数学归纳法只能假设\([1,k]\)内的马是相同颜色，如果要推广到\([2,k+1]\)的情况，则需要证明\(k+1\)号马与前面颜色均相同。

2. 发现对规模为\(k\)的问题，流程如下：①将\([1,k-1]\)移动到\(B\)柱；②将\(k\)移动到中间柱；③将[1,k-1]移动到\(A\)柱；④将\(k\)移动到\(B\)柱；⑤将\([1,k-1]\)移动到\(B\)柱。

设\(T_n\)为将规模为\(n\)的问题解决所需的最小步数，由此获得递归式：

\[T_1=2\]

\[T_n=6T_n-1+2,n\geq 2\]

设\(G_n=T_n+\frac25\)，则\(G_1=\frac125,G_n=6(T_n-1+\frac25)=6G_n-1=\frac256^n\)。

即\(T_n=\frac25(6^n-1)\)。

证明：\(T_n\)一定是整数，即\(5|(6^n-1)\)。

对于\(n=1\)的情况，显然成立。

假设对于\([1,n-1]\)均成立。\(6^n-1=6\times6^n-1-1=(6-1)\times 6^n-1+6^ n-1-1\)，由于对于\(n-1\)时成立，此处也成立。

1. 显然\(A,B\)柱上会有此类正确摆放，只需考虑中间柱。发现在③过程时，\(n\)必然在中间柱，而\([1,n-1]\)从\(B\)到\(A\)，必然整体经过中间柱。

2. 设\(T_n\)为原规则下的最小步数，\(G_n\)是将\(n\)个始末位置不确定的圆盘排好的最小步数。问题转化为对于任意始末位置，证明\(G_n\leq T_n\)。

对于\(n=1\)的情况，若始末位置在同一根石柱，则\(G_1=0<T_1\)，否则\(G_1=T-1\)，结论成立。

假设对于\([1,n-1]\)均成立。对于第\(n\)个圆盘，设始位置为\(x\)，末位置为\(y\)，中间位置为\(z\)。若\(x=y\)，则\(G_n=G_n-1\leq T_n-1<T_n\)。否则，需要执行如下操作：①\([1,n-1]\)移动到\(z\)，设此操作花费\(G_n-1,0\)；②将\(n\)移动到\(y\)；③将\([1,n-1]\)移动到对应末位置，设此操作花费\(G_n-1,1\)。此时\(G_n=G_n-1,0+G_n-1,1+1\leq 2T_n-1+1=T_n\)。

由数学归纳法得证。