对于混沌定义中三个条件的理解

Posted 2022-08-03 zhudingtop

我们都知道，Devaney对于混沌是这样定义的：

对于映射F，如果满足：1）对初值得敏感依赖性；2）拓扑传递性；3）周期点稠密。

我们就可以说映射F是混沌的。

那么这三个条件应该怎样理解呢？

1）从稳定性角度来看，混沌轨道是局部不稳定的，“敏感初条件”就是对混沌轨道的这种不稳定性的描述。对于初值敏感性，意味着无论X、Y离得多么近，在F的作用下，两者的轨道都有可能分开较大的距离，而且在每个点X附近都可以找到离他很近而且在F的作用下最终分道扬镳的点Y。对于这样的F，如果用计算机计算它的轨道，任何微小的初始误差，经过若干次迭代之后都将导致计算结果的失效。

2）拓扑传递性意味着任一点的领域在F的作用下将“遍历”整个度量空间V，这说明F不可能细分或者不能分解为两个在F下不相互影响的子系统。

3）上述两条一般来说时随机系统的特征，但是第三条--周期点集的稠密性，却又表明系统具有很强的确定性和规律性，绝非一片混乱，而是形似紊乱实则有序，这也是混沌能够和其它应用学科相结合走向应用的前提。