ZROI 19.08.10模拟赛

Posted 2022-08-02 suwakow

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写在前面：为了保护正睿题目版权，这里不放题面，只写题解。

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• A

\(20pts:\)

枚举操作序列然后暴力跑，复杂度\(O(6^n)\)。

\([50,80]pts:\)

枚举改成dfs，每层操作后还原。复杂度\(O(3^n)\)。

全0或全1可以直接返回。

写法优秀可以过\(80pts\)。

\(100pts:\)

类似非递归fft的写法，bitrev后可以位运算优化。

最下面四层可以预处理，复杂度\(O(3^n-4)\)。

然后疯狂卡常就完事了（

然而由于swk人菜常数大，明明所有剪枝都加上了仍然挂掉了qwq

破案了，原来swk太菜了，在递归的每一层都重构了一遍结构体，结构体里还用了vector，于是多了\(12\)倍常数，就死掉了。

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• B

\(80pts:\)

枚举最小差，设为\(d\)。

统计最小差大于等于 \(d\) 的集合最大差之和，发现对于一个最小差为\(x\)的集合，它的最大差刚好被统计了\(x\)次。

直接dp，设\(f_i\)表示前\(i\)个元素，且第\(i\)个元素必选的最大差之和。转移时需要一堆前缀和。我代码写的特别诡异

\(100pts:\)

仍然枚举\(d\)，对每个\(d\)枚举集合元素个数\(x\)，发现\(dx\leq n\)，所以枚举复杂度为\(O(n\log n)\)。

然后随便组合数一下就可以了。

发现集合中的最大值和最小值是对称的，可以分开算。

考虑枚举最小值为\(c\)，则方案数为\((^n-c-x(d-1)_~~~~~~~~x-1)\)。即选中\(x\)个元素，在它们后面附带\(d-1\)个额外的空格，其中位于位置\(c\)的元素必须被选中，且前面不能有任何被选中的元素，可以直接把这个元素删掉。

设\(a=n-x(d-1),b=x-1\)，则总贡献为\(\sum_c=1^a-b c\cdot (^a-c_~~~b)=\sum_c=b^a (a-c)\cdot (^c_b)=\sum_c=b^a (a+1)\cdot(^c_b)-(c+1)\cdot (^c_b)\)。

将后半部分拆开，得到\((c+1)\cdot (^c_b)=\frac(c+1)c!b!(c-b)!=(b+1)\frac(c+1)!(b+1)!(c-b)!=(b+1)\cdot(^c+1_b+1)\)。

代回上式，得到\(\sum_c=b^a (a+1)\cdot(^c_b)-(b+1)\cdot (^c+1_b+1)=(a+1)\cdot(^c+1_b+1)-(b+1)\cdot(^c+2_b+2)\)。可以\(O(1)\)计算。

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• C

swk完全不会做找观察题所以光荣爆零了。然而大家都切了这道题，所以swk菜死了。

一个很重要的结论就是每个点只会往上走。

感性理解下就是越往上边就越稀疏。

于是每个点只有\(O(\log)\)个点与它相关，建出边直接跑就可以了。

上面的写法比较麻烦。好写一点的方法是，两个点必然在lca附近相遇。对每个点可以算出向上不经过桥最近的祖先，贪心地找最高的祖先即可。需要特判两个点在祖先的两侧相遇的情况。