ZROI 19.08.09模拟赛

Posted 2022-08-02 suwakow

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写在前面：为了保护正睿题目版权，这里不放题面，只写题解。

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• A

\(70pts:\)

维护一个栈，从一侧向另一侧扫描，如果新加入的元素与当前栈顶相同，则出栈，否则进栈。显然一个子串是括号序列，当且仅当栈为空。

枚举起点，暴力模拟即可。复杂度\(O(n^2)\)。

\(100pts:\)

对于一个右端点，考虑哪些左端点可以和它匹配。

发现所有合法的左端点，两者栈的内容都是相等的，可以Hash判断。

实际上考虑每次加入字符时，只会在末尾变动一次，可以用trie树维护。复杂度\(O(\sigma n)\)。

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• B

\(20pts:\)

随便爆搜即可。

\(40pts:\)

考虑状压，设\(f_state\)为选了\(state\)的建筑公司后，最大的花费。

每次转移时枚举最后选的建筑公司\(i\)，现在需要求\(e_i\)。

直接算很难算，考虑容斥。

发现有一些点集，它们之间的边已经被之前的公司连过了。

枚举之前选的建筑公司的每个子集\(state'\)，被它影响的点是与\(i\)的点集的交集，容斥系数是\((-1)^|state'|\)。

用bitset维护点集的交集，复杂度\(O(\frac3^m nw)\)。

\(70pts:\)

发现本质不同的交集只有\(2^m\)个，预处理交集大小，容斥时可以直接算。复杂度\(O(\frac2^m nw+3^m)\)。

或者对于每个点，考虑它在哪些点集里出现了。对它未出现的点集的每个子集，将它的权值\(-1\)，预处理复杂度可以降到\(3^m\)。

\(100pts:\)

高维前缀和：设有定义在集合上的函数\(f(S)\)，现在要求\(g(T)=\sum_S\subseteq T f(S)\)。直接求是\(O(3^n)\)的，然而通过一些玄妙的手段，可以将它的复杂度降为\(O(2^n\cdot n)\)。

对预处理和容斥分别使用高维前缀和即可。

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• C

\(100pts:\)

发现一个排列就是若干个环组成的置换，目标是把环的总数变为\(n\)。

考虑交换两个元素后环会如何变化。

发现如果交换同一个环的元素，环会被拆成两份。否则两个环会因此合并。

因此最小化操作次数等价于最小化合并环的次数。

考虑什么时候会合并环。对于一个环，如果内部有多于一种颜色（称作异色环），可以从每次交换颜色断点处的两个元素，形成一个新的自环。因此一个异色环可以直接拆成自环，不需要合并。

否则，环内任意两个元素都无法交换，则必须将其与包含其他颜色的环合并。

考虑至少需要合并多少次。发现一次合并最优可以将两个颜色不同的同色环合并成异色环。在所有同色环颜色相同时，则只能将一个同色环与某个异色环合并。

因此每次将出现次数最多的两种颜色的同色环合并是最优的，用堆维护即可。

一万个特判，一万个边界。辣鸡swk赛场上没调出来，成功爆零了。

这题太难写了所以放一下代码。戳这里qwq

对于消异色环，另外一种比较简单的写法是，钦点一种颜色，第一次消去这个颜色所有边，只留一条。第二次用这条边把整个环都消掉即可。