ZROI 19.08.04模拟赛

Posted 2022-08-02 suwakow

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写在前面：为了保护正睿题目版权，这里不放题面，只写题解。

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“这应该是正睿OI历史上第一次差评破百的比赛。”

“这说明来正睿集训的人越来越多了。”

“我很不能理解差评，因为在比赛开始前就有超过\(40\)个差评了。”

天祺鸽鸽nb！

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• A

“这题标程是线性的，可是为什么没有出\(5\times 10^6\)呢？因为spj要带个\(\log\)，这样就T了。”

\(100pts:\)

打表观察发现有解当且仅当\(\sum k^-a_i\geq 1\)。

不失一般性，我们可以证明\(\sum k^-a_i= 1\)时有解。

为了让\(\sum k^-a_i= 1\)，我们发现排好序后最后\(k\)个数一定是相等的（多余的数可以删掉，不影响结果）。

\(k\cdot k^-a_i=k^-(a_i-1)\)，所以把\(k\)个\(a_i\)改成\(1\)个\(a_i-1\)总贡献不变。

实现的时候，可以把\(k\)个\(i\)转化成\(1\)个\(i-1\)，最终得到一个\(0\)则有解。

输出方案排序后贪心即可，优秀的实现可以做到线性。

• B

\(42pts:\)

由于\([l_2,r_2]\)互不相交，发现区间长度之和不会超过\(n\)，暴力并查集即可。

复杂度\(O(n \cdot \alpha n)\)。

\(100pts:\)

仍然是由于\([l_2,r_2]\)互不相交，对于每个\([l_2,r_2]\)向\([l_1,r_1]\)连边，发现每个\([l_2,r_2]\)只会有一个父亲，形成了一个天然的树形结构。

对于每个插入和询问，都在树上暴力地跳父亲，跳到根节点一起处理即可。

唯一的一个问题是，如果\([l_1,r_1]\)和\([l_2,r_2]\)相交，可能会需要暴力跳过整个区间。

如果两个区间相交超过一半，则一定有循环节，对循环节取模即可。

复杂度\(O(m^2)\)。我并查集学傻了

• C

显然图中每个连通块都要有偶数条边，且每个点度数都是奇数。

问题等价于，找\(\fracn2\)条链覆盖所有边，要求端点覆盖每个点且边不相交。此外要求每条链长度都是偶数。

考虑没有偶数的限制怎么做，显然建虚点跑欧拉回路就可以。

\(10pts:\)

对于完全图，发现只有\(4|n\)时才有解。

考虑每次加入\(4\)个点，内部构造显然，与之前\(4n\)个点连边是一个度数均为偶数的二分图，很好做。

\(65pts:\)

爆搜，我也不知道为什么跑那么快。

\(100pts:\)

考虑求出一个\(\frac m2\)条链的链覆盖。假设已经求出了，我们建一张新图，如果存在一条链直接连接\((x,y)\)，则在新图中连一条\((x,y)\)的边。显然新图中度数的奇偶性不会改变，在新图中跑欧拉回路，最后把每条链拆开即可。

考虑如何求这个链覆盖。

在图里建一棵dfs树，则非树边一定是返祖边。

对于每条边都在深度较浅的点考虑，这样到某个节点时，与它有关的剩余边一定只包含：它的儿子与它之间的边，它的子树中向它连的返祖边，它连向父亲的边。对前两类边匹配，如果有剩余就匹配掉到父亲的边。由于边数为偶数，根节点一定可以匹配。

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写在后面：

这场同时是正睿历史上评价波动最大的一场比赛。虽然在某些人的操纵下最后还是变成了负数，但是仍然在中途达到了\(+30\)，我也很荣幸记录下了这一刻。

原因很有趣，也很悲伤。

“由于小K受伤了，因此许多朋友都去慰问他。”

“小K正在忙着恢复服务器中丢失的一份数据。”

“小K拥有\(n\)个工作室，这\(n\)个工作室之间用\(m\)条道路相互连接。”

小K代表什么呢？相信大家已经知道了。

这也是我第一次对这道题的出题人产生由衷的敬意。