8.18爆炸记

Posted 2022-08-01 soledadstar

T1

改造二叉树

Description

在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子结点的有序树。通常子结点被称作“左孩子”和“右孩子”。二叉树常被用作二叉搜索树和二叉堆。
　　我们再讨论二叉搜索树。什么是二叉搜索树呢？二叉搜索树首先是一棵二叉树。设key[p]表示结点p上的数值，对于其中的每个结点p，若其存在左孩子lch，则key[p] > key[lch]；若其存在右孩子rch，则key[p] < key[rch]。注意，应该是所有左子树中的key小于当前key，所有右子树中的key大于当前key。
　　对于每个结点，无论如何改变其数值（整数），费用总等于1。
　　现在给定一棵二叉树，可以任意修改结点的数值。要求用最小的费用将其变成一棵二叉搜索树。

Input

　　输入文件bst.in包括两行，第一行是一个整数n，表示二叉树的结点数。
　　第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai是第i个结点的原始数值。
　　此后n-1行每行两个整数，第i行描述编号为i-1的结点的父亲编号以及父子关系（0表示为左孩子，1表示为右孩子）。编号为1的结点一定是二叉树的根。

Output

　输出文件bst.out包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的费用值。输入数据保证这个值小于2^31。

Sample Input

3 
2 2 2 
1 0 
1 1

Sample Output

2

Hint

【数据范围】
　　对于50%的数据，保证n<=100且0<=ai<=200；
　　对于100%的数据，保证n<=100000；

二叉查找树的中序遍历具有一个优秀的性质，那就是严格递增。对于当前树，我们可以处理出它的中序遍历，问题就变为了：求最少在中序遍历中修改几个数，使它严格递增。

我们自然会想到求出它的最长上升子序列，并用n减去它的长度就是答案。但如何保证严格递增呢？常见的一个thick就是把每个数减去当前数的下标，但值得注意的是：此时求的就是最长不降子序列的长度了。

因为n≤10⁵，故要用二分优化。

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define INF 0x7fffffff
inline int read() 
    char ch;
    bool bj=0;
    while(!isdigit(ch=getchar()))
        bj|=(ch==‘-‘);
    int res=ch^(3<<4);
    while(isdigit(ch=getchar()))
        res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^(3<<4));
    return bj?-res:res;

void printnum(int x) 
    if(x>9)printnum(x/10);
    putchar(x%10+‘0‘);

inline void print(int x,char ch) 
    if(x<0) 
        putchar(‘-‘);
        x=-x;
    
    printnum(x);
    putchar(ch);

int n,a[200005],c[200005][2];
int d[200005],Mid[200005],tot;
void DFS(int x) 
    if(c[x][0])DFS(c[x][0]);
    Mid[++tot]=a[x];
    if(c[x][1])DFS(c[x][1]);

int Half_LIS() 
    int len=1;
    d[1]=Mid[1];
    for(int i=2; i<=n; i++) 
        int l=1,r=len;
        if(d[len]<=Mid[i]) 
            len++;
            d[len]=Mid[i];
            continue;
        
        while(l<=r) 
            int    mid=(l+r)>>1;
            if(d[mid]<=Mid[i])l=mid+1;
            else r=mid-1;
        
        d[l]=Mid[i];
    
    return len;

signed main() 
    n=read();
    for(int i=1; i<=n; i++)a[i]=read();
    int x,y;
    for(int i=2; i<=n; i++) 
        x=read();
        y=read();
        c[x][y]=i;
    
    DFS(1);
    for(int i=1; i<=n; i++)Mid[i]-=i;
    cout<<n-Half_LIS()<<endl;
    return 0;

T2

数字对

Description

　小H是个善于思考的学生，现在她又在思考一个有关序列的问题。
　　她的面前浮现出一个长度为n的序列ai，她想找出一段区间[L, R](1 <= L <= R <= n)。
　　这个特殊区间满足，存在一个k(L <= k <= R)，并且对于任意的i(L <= i <= R)，ai都能被ak整除。这样的一个特殊区间 [L, R]价值为R - L。
　　小H想知道序列中所有特殊区间的最大价值是多少，而有多少个这样的区间呢？这些区间又分别是哪些呢？你能帮助她吧。

Input

　　第一行，一个整数n.
　　第二行，n个整数，代表ai.

Output

　　第一行两个整数，num和val,表示价值最大的特殊区间的个数以及最大价值。
　　第二行num个整数，按升序输出每个价值最大的特殊区间的L.

Sample Input

【样例输入1】
5
4 6 9 3 6

【样例输出1】
1 3
2

Sample Output

【样例输入2】
5
2 3 5 7 11

【样例输出2】
5 0
1 2 3 4 5

Hint

【数据范围】
　　30%: 1 <= n <= 30 , 1 <= ai <= 32.
　　60%: 1 <= n <= 3000 , 1 <= ai <= 1024.
　　80%: 1 <= n <= 300000 , 1 <= ai <= 1048576.
　　100%: 1 <= n <= 500000 , 1 <= ai < 2 ^ 31.

 

30pts：暴力，枚举每个区间，暴力扫。

60pts：ST表预处理区间最小和区间gcd，显然成为特殊区间的条件就是区间最小和区间gcd相等，枚举每个区间，O(1)算(笔者没算gcd的复杂度)

100pts：是否可以二分?如果我们二分点i向右延伸的长度的话，这个答案是不具有单调性的。但是如果二分最大价值就可以，设当前二分的答案是mid，O(n)暴力判一遍[i,i+mid]所有区间是否为特殊区间，求答案的最大值即可

不用ST表用线段树的话会T飞，同桌亲测与暴力分一样。推荐遇到静态问题或多次查询的题都用ST表。

 

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define int long long
inline int read() 
    char ch;
    bool bj=0;
    while(!isdigit(ch=getchar()))
        bj|=(ch==‘-‘);
    int res=ch^(3<<4);
    while(isdigit(ch=getchar()))
        res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^(3<<4));
    return bj?-res:res;

void printnum(int x) 
    if(x>9)printnum(x/10);
    putchar(x%10+‘0‘);

inline void print(int x,char ch) 
    if(x<0) 
        putchar(‘-‘);
        x=-x;
    
    printnum(x);
    putchar(ch);

int p[500005][25],a[500005],n,log_2[500005],minn[500005][25];
int maxn=-INF;
int tot,ans[500005];
int gcd(int x,int y) 
    return y?gcd(y,x%y):x;

inline void ST() 
    for(int j=1; j<=log_2[n]; j++)
        for(int i=1; i<=n; i++)
            if(i+(1<<j)-1<=n) 
                p[i][j]=gcd(p[i][j-1],p[i+(1<<(j-1))][j-1]);
                minn[i][j]=min(minn[i][j-1],minn[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            

inline int check(int x,int y) 
    int k=log_2[y-x+1];
    return gcd(p[x][k],p[y-(1<<k)+1][k])==min(minn[x][k],minn[y-(1<<k)+1][k]);

inline void Solve(int x) 
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(i+x<=n&&check(i,i+x))
            ans[++tot]=i;

signed main() 
    n=read();
    for(int i=2; i<=n; i++)log_2[i]=log_2[i>>1]+1;
    for(int i=1; i<=n; i++) 
        a[i]=read();
        p[i][0]=minn[i][0]=a[i];
    
    ST();
    int l=0,r=n;
    while(l<=r) 
        int mid=(l+r)>>1;
        tot=0;
        Solve(mid);
        if(tot) 
            maxn=mid;
            ans[0]=tot;
            l=mid+1;
         else r=mid-1;
    
    print(ans[0],‘ ‘);
    print(maxn,‘\n‘);
    for(int i=1; i<=ans[0]; i++)print(ans[i],‘ ‘);
    return 0;

 

T3

交换

Description

给定一个0, 1, 2, 3, … , n - 1的排列 p。一个0, 1, 2 , … , n - 2的排列q被认为是优美的排列，当且仅当q满足下列条件：
对排列s = 0, 1, 2, 3, ..., n - 1进行n – 1次交换。
1.交换s[q0],s[q0 + 1]
2.交换s[q1],s[q1 + 1]
…
最后能使得排列s = p.
问有多少个优美的排列，答案对10^9+7取模。

 Input

第一行一个正整数n.
第二行n个整数代表排列p.

Output

仅一行表示答案。

Sample Input

3
1 2 0

Sample Output

【样例输出】
1

Hint

【样例解释】
q = 0,1 0,1,2 ->1,0,2 -> 1, 2, 0
q = 1,0 0,1,2 ->0,2,1 -> 2, 0, 1
【数据范围】
30%: n <= 10
100%: n <= 50