AcWing 道路与航线

Posted 2022-08-01 bigyellowdog

AcWing 道路与航线

Description

• Farmer John正在一个新的销售区域对他的牛奶销售方案进行调查。他想把牛奶送到T个城镇 (1 <= T <= 25,000)，编号为1T。这些城镇之间通过R条道路 (1 <= R <= 50,000，编号为1到R) 和P条航线 (1 <= P <= 50,000，编号为1到P) 连接。每条道路i或者航线i连接城镇A_i (1 <= A_i <= T)到B_i (1 <= B_i <= T)，花费为C_i。

  对于道路，0 <= C_i <= 10,000;然而航线的花费很神奇，花费C_i可能是负数(-10,000 <= C_i <= 10,000)。道路是双向的，可以从A_i到B_i，也可以从B_i到A_i，花费都是C_i。然而航线与之不同，只可以从A_i到B_i。

  事实上，由于最近恐怖主义太嚣张，为了社会和谐，出台 了一些政策保证：如果有一条航线可以从A_i到B_i，那么保证不可能通过一些道路和航线从B_i回到A_i。由于FJ的奶牛世界公认十分给力，他需要运送奶牛到每一个城镇。他想找到从发送中心城镇S(1 <= S <= T) 把奶牛送到每个城镇的最便宜的方案，或者知道这是不可能的。

Input

• * Line 1: Four space separated integers: T, R, P, and S

  * Lines 2..R+1: Three space separated integers describing a road: A_i, B_i and C_i

  * Lines R+2..R+P+1: Three space separated integers describing a plane: A_i, B_i and C_i

Output

• Lines 1..T: The minimum cost to get from town S to town i, or ‘NO PATH‘ if this is not possible

Sample Input

6 3 3 4 
1 2 5 
3 4 5 
5 6 10 
3 5 -100 
4 6 -100 
1 3 -10 

Sample Output

NO PATH 
NO PATH 
5 
0 
-95 
-100 

题解：

• 最短路。
• 有负边权，spfa呗。但是最坏会被卡成O(nm)，对于这题明显不行。所以思考用别的方法。
• 这题很特别，给了很多限定条件：

1. “然而航线的花费很神奇，花费C_i可能是负数” -> 有负边权
2. “如果有一条航线可以从A_i到B_i，那么保证不可能通过一些道路和航线从B_i回到A_i” -> 不存在负环，有可能有正环

• 再想想每个最短路算法的特点。spfa可以有负边权，不能有环。dijkstra不能有负边权。
• 那么这题我们可以只把双向边添加进来，这样就会形成若干个连通的块，块内用dijkstra跑最短路。再将单向边添加进来，就变成了一个DAG，块与块衔接部分用拓扑序跑最短路。
• 还有几个要注意的地方：

1. 拓扑排序是保证可以按顺序更新，不产生紊乱。并不是用拓扑像以往的题跑dp去算。
   • 因为块内算dij时，可能会更新到块外的点，这个时候就已经在算块与块间的最短路了。
2. 入度为0的块要一起加进来，不能只加s所在块，因为要保证拓扑排序的进行。
3. 由于第2点的存在，可能存在某个点被s不能走到的点更新。因此最后判断无解的时候不能写成==inf

• 具体算法流程参照lyd老师的讲解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <vector>
#define N 25005
#define M 200005
using namespace std;

struct Node

    int val, pos;
    friend bool operator < (Node x, Node y) 
        return x.val > y.val;
    
;
struct E int next, to, dis; e[M];
int n, m1, m2, s, num, dfn;
int h[N], bel[N], deg[N], dis[N];
bool vis[N];
vector<int> c[N];
queue<int> que;

int read()

    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') if(c == '-') f = -1; c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();
    return x *= f;


void add(int u, int v, int w)

    e[++num].next = h[u];
    e[num].to = v;
    e[num].dis = w;
    h[u] = num;


void dfs(int x)

    bel[x] = dfn, vis[x] = 1, c[dfn].push_back(x);
    for(int i = h[x]; i != 0; i = e[i].next)
        if(!vis[e[i].to]) dfs(e[i].to);


void dijkstra(int id)

    priority_queue<Node> pue;
    for(int i = 0; i < c[id].size(); i++) pue.push((Node)dis[c[id][i]], c[id][i]);
    while(pue.size())
    
        int now = pue.top().pos;
        pue.pop();
        if(vis[now]) continue;
        vis[now] = 1;
        for(int i = h[now]; i != 0; i = e[i].next)
        
            if(dis[now] + e[i].dis < dis[e[i].to])
            
                dis[e[i].to] = dis[now] + e[i].dis;
                if(bel[now] == bel[e[i].to]) pue.push((Node)dis[e[i].to], e[i].to);
            
            deg[bel[e[i].to]]--;
            if(!deg[bel[e[i].to]] && bel[now] != bel[e[i].to]) que.push(bel[e[i].to]);
        
    


int main()

    cin >> n >> m1 >> m2 >> s;
    for(int i = 1; i <= m1; i++)
    
        int u = read(), v = read(), w = read();
        add(u, v, w), add(v, u, w);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(!vis[i]) ++dfn, dfs(i);
    for(int i = 1; i <= m2; i++)
    
        int u = read(), v = read(), w = read();
        add(u, v, w);
        deg[bel[v]]++;
    
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[s] = 0, que.push(bel[s]);
    for(int i = 1; i <= dfn; i++)
        if(!deg[i]) que.push(i);
    while(que.size())
    
        int now = que.front();
        que.pop();
        dijkstra(now);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(dis[i] >= 1e9) printf("NO PATH\n");
        else printf("%d\n", dis[i]);