卡特兰数相关

Posted 2022-08-01 hzjuruo

这一块一直学的不太好，基本停留在看到题可以看出来是个卡特兰数，但进一步的思考和推导，对我来说就变得困难起来，所以今天趁有时间，复习一下

前言

卡特兰数多用在组合数学的计数问题中，多是那种有两种选择，也就是求有限制的方案数

公式

$h(n)=h(0)\\timesh(n-1)+h(1)\\timesh(n-2)+\\cdots+h(n-1)\\timesh(0)$

$h(n)=\\frach(n-1)\\times(4\\timesn-2)n+1$

$h(n)=C_2\\timesn^n-C_2\\timesn^n-1$

$h(n)=\\fracC_2\\timesn^nn+1$

最后两个通项公式在组合数学中较为常用，关于最后两个通项公式的推倒，我简单推一下，其实就是对组合数公式的应用

$h(n)=C_2\\timesn^n-C_2\\timesn^n-1$

　　　$=C_2\\timesn^n-\\frac(2\\timesn)!\\timesnn!\\timesn!\\times(n+1)$

　　　$=C_2\\timesn^n-C_2\\timesn^n\\times\\fracnn+1$

　　　$=\\frac1n+1\\timesC_2\\timesn^n$

最常见模型

常见的卡特兰数最基本最常见的模型是进出栈问题，也就是对于n个数，求其不同出栈次序的方案数，下面来自学长的解释

关键在于那个前缀和不小于零，很多题都可以简化为这种问题，对于卡特兰数这种进出栈模型，在下面还会提到另一种理解

简单应用

1.进出栈模型

2.二叉树计数

3.多边形划分

4.括号匹配

5.有限制的网格路径

关于这些，前方链接 一 二

简单例题

BZOJ3907网格

当$n=m$时，这道题就是一个裸的卡特兰数，向右看作进栈，向上看为出栈

那当$n>m$时呢？我们来考虑一下对于卡特兰数的另一种理解

我们将这道题化减为一个模型，给你$n$个1，$m$个0，要求一个$01$串，使得任意前k位中0的个数不少与1的个数，双倍经验，我们考虑用总的方案数减去不满足的方案数，总方案显然是$C_n+m^m$，现在我们考虑不满足要求的01串，前提是满足$n$个$1$，$m$个$0$，对于一个不合法$01$串，我们设在第$i$位上为1，且第一次出现1的个数-0的个数=1，那么此时假如我们把这个串的前$i$个位置，$01$取反，那在此时的串中就出现了$m+1$个0和$n-1$个1，我们发现这种相互转化的关系是唯一对应的，所以不合法的$01$串的方案数是$C_n+m^m+1$，所以最后的答案就是$C_n+m^m-C_n+m^m-1$，当$n=m$时，这个式子就是卡特兰数的通项公式

送一道还可以的练习题