自共轭Ferrer图

Posted 2022-08-01 xiaohanghuo

定理：沿虚轴转换后的Ferrers图仍为它本身，也就是说这个Ferrers图关于虚轴对称，那么这个Ferrers图称为自共轭Ferrers图。

对于一个大小为 n 的共轭Ferrer图，去掉第一行和第一列，得到的还是自共轭Ferrers图。这是肯定的。而且新的第一行+第一列肯定比原来小。

假设新的自共轭Ferrers图的大小为 n-k ，那么k一定是奇数。

通过不断地删除第一行和第一列得到新的自共轭Ferrer图，一个自共轭Ferrers图就可以用1个由上述k组成的数列来表示。

每一行分别为 7，6，6，4，3，3，1的自共轭Ferrers图 ，可以表示为 13，9，7，1。

第一行+第一列 = 13；

去掉第一行，第一列后，新的第一行 + 第一列 = 9；

再去掉第一行，第一列后，新的第一行+第一列 = 7；

......

假设一个自共轭Ferrers图，大小为n，第一行和第一列一共有k个格子，那么这样的图的总数为f(n,k)，则可以得到递推式：f(n,k) = f(n,k-2) + f(n-k,k-2)

经典例题：HDU 1246 自共轭Ferrers图

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1246

题解：输出大小为 n 的自共轭Ferrers图的总数。

代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<map>
 7 #define ll long long
 8 using namespace std;
 9 
10 const int N = 310;
11 
12 int main()
13 
14     int a[N] = 1, 1;
15     
16     for(int k = 3; k < N; k += 2)//在普通的动态规划之上，还用了空间压缩，就不需要二维数组。 
17     
18         for(int n = N; n >= k; n--) 
19         
20             a[n] += a[n - k];
21         
22     
23     
24     int n;
25     while((scanf("%d", &n)) != EOF)
26     
27         printf("%d\\n", a[n]);
28     
29     
30     return 0;
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