进制与位运算

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了进制与位运算相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

进制与位运算

二进制,八进制,十六进制和转换

二进制:由0和1组成,“逢二进一”。

八进制:由0,1,2,3,4,5,6,7组成,“逢八进一”。

C/C++中,在数字前加上前缀"0"表示八进制。

十六进制:由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)组成,“逢十六进一”。

C/C++中,在数字前加上前缀"0x"表示十六进制。

可以发现,二进制和八进制,二进制和十六进制可以简便地进行转换,因为八进制一位对应二进制三位,十六进制一位对应二进制四位

例:将\((37.416)_8\)转换成二进制。

\(3\rightarrow 011\) \(7\rightarrow 111\) \(4\rightarrow 100\) \(1\rightarrow 001\) \(6\rightarrow110\)

\((37.416)_8\rightarrow(11111.10000111)_2\).

? 将\((5DF.9)_16\)转换成二进制。

\(5\rightarrow0101\) \(D\rightarrow1101\) \(F\rightarrow 1111\) \(9\rightarrow 1001\)

\((5DF.9)_16\rightarrow (10111011111.1001)_2\).

一般地,将\(k\)进制\(a\)的每一位乘以\(k^i\)次(其中\(i\)为当前位位数,个位位数为\(0\)),这样就可以将其转换为十进制。

例:将\((11010.01)_2\)转换为十进制。

\((11010.01)_2=1\times2^4+1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+0\times2^0+0\times2^-1+1\times2^-2=16+8+2+0.25=(26.25)_10\)

一般地,将十进制数\(a\)的整数部分不断除以\(k\)取余,倒序输出;小数部分不断乘\(k\)取整,这样就可以转换为\(k\)进制。

例:将\((89.625)_10\)转换为二进制。

整数部分:

\(89/2=44\cdots\cdots1\)

\(44/2=22\cdots\cdots0\)

\(22/2=11\cdots\cdots0\)

\(11/2=5\cdots\cdots1\)

\(5/2=2\cdots\cdots1\)

\(2/2=1\cdots\cdots0\)

\(1/2=0\cdots\cdots1\)

小数部分:

\(0.625\times2=0.25+1\)

\(0.25\times2=0.5+0\)

\(0.5\times2=0.0+1\)

\((89.625)_10=(1011001.101)_2\).

计算机中数的表示

计算机中数位一般为8的倍数,我们规定最高位为符号位,0表示正数,1表示负数,这叫做机器数。这其中又分为原码,补码和反码

原码:正常的符号数值表示。

例:设\(x=7\),则\([x]_原=00000111\)\(x=-7\),则\([x]_原=10000111\).

反码:正数的反码是它本身,负数是对符号位以外各数取反。

例:设\(x=-7\),则\([x]_反=11111000\).

补码:正数的补码是它本身,负数是它本身的反码加1。

例:设\(x=-7\),则\([x]_补=11111001\).

综上,对于正数\(x\)\([x]_原=[x]_反=[x]_补\);对于负数\(x\)\([x]_补=[x]_反+1,[x]_反=[x]_原\)数值位取反。

浮点数E(e)表示法:形如\(1e7,3e6\)的数,表示\(1\times10^7\),\(3\times10^6\)

C++的位运算

按位与&:把两个数转化为二进制后逐位比较,两个对应数都为1时才为1

例:110&504=104

\(\beginsplit1101110&\\111111000&\\1101000\endsplit\)

应用:

判断一个数\(n\)的奇偶:

bool Odd(int n)

    return n&1;

\(m\)对2的\(n\)次方取余:

int Mod(int m,int n)

    return m&(n-1);

判断一个数\(n\)是否是\(2\)的幂:

bool Fac(int n)

    return n>0&&(n&(n-1))==0;

按位或|:把两个数转化为二进制后逐位比较,两个对应数有一个1就为1

例:110|504=510

\(\beginsplit1101110&\\111111000&\\111111110\endsplit\)

按位异或^:把两个数转化为二进制后逐位比较,两个对应数不同时才为1

例:110^504=406

\(\beginsplit1101110&\\111111000&\\110010110\endsplit\)

注:异或运算的逆运算是其本身,即(a ^ b) ^ b = a

交换两数\(a,b\)

void Swap(int &a,int &b)

    a=a^b;
    b=a^b;
    a=a^b;

取反~:对一个数的补码二进制位取反

例:

~5=-6

\(\beginsplit&设x=(5)_10=(101)_2\\&[x]_原=00000101\\&[x]_补=00000101\\ \endsplit\)

~\(x=11111010_补=11111001_反=10000110_原=-6\)

~-7=6

\(\beginsplit&设x=(-7)_10=(-111)_2\\&[x]_原=10000111\\&[x]_补=11111001\\ \endsplit\)

~\(x=00000110_补=00000110_反=0000110_原=6\)

左移<<右移>>:将一个数转换成二进制后向左(右)移动\(i\)

例:5<<1=10,5>>1=2

\(\beginsplit5=00000101_(2)&\\5<<1=00001010_(2)&\\5>>1=00000010_(2)&\endsplit\)

应用:

\(n<<i\)相当于\(n\)\(2\)\(i\)次方

\(n>>i\)相当于\(n\)除以\(2\)\(i\)次方(\(n\)都要为整数)

注:右移为严格向下取整,\为向0取整

以上是关于进制与位运算的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

线段树与位运算

Java:二进制(原码反码补码)与位运算

数值的二进制与位运算

位域与位运算

转Cocoa中的位与位运算

或与位运算实现2个参数合并与拆分