集合和逻辑运算
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了集合和逻辑运算相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
集合和逻辑运算
集合
定义
我们把具象和抽象的事物，符号叫做对象，由一定对象构成的一个整体叫做集合，构成集合的每个对象叫做元素。
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作\\(\\emptyset\\)。
含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
性质
1.互异性：对于一个给定的集合，其中的元素一定各不相同。
2.确定性：集合中的元素必须确定。
——例如，“中国的直辖市”构成一个集合，“我国较小的河流”不构成一个集合。
常用数集
非负整数集(自然数集)：\\(\\N\\)
正整数集：\\(\\N^*\\)或\\(\\N_+\\)
整数集：\\(\\Z\\)
有理数集：\\(\\Q\\)
实数集：\\(\\R\\)
表示
我们一般用大写英语字母\\(A,B,C,\\cdots\\)表示集合，用小写英语字母\\(a,b,c,\\cdots\\)表示集合中的元素。
如果\\(a\\)是集合\\(A\\)的元素，就说\\(a\\)属于集合\\(A\\)，记作\\(a\\in A\\)；相应地，如果如果\\(a\\)b不是集合\\(A\\)的元素，就说\\(a\\)不属于集合\\(A\\)，记作\\(a\\notin A\\)。
集合的表示方法：
1.列举法：把元素一一列举，用" "括起来
eg.“方程\\(x^2+x-2=0\\)的所有实数根”组成的集合用列举法表示为\\(\\1,-2\\\\)。
2.描述法：一般地，如果集合\\(I\\)中，属于集合\\(A\\)的任意一个元素\\(x\\)都具有特征\\(p(x)\\)，不属于集合\\(A\\)的元素都不具有特征\\(p(x)\\)，则称\\(p(x)\\)是集合\\(A\\)的特征性质。此时集合\\(A\\)可描述为\\(\\x\\in I|p(x)\\\\)
eg.设方程\\(x^2+x-2=0\\)的实数根为\\(x\\),则“方程\\(x^2+x-2=0\\)的所有实数根”组成的集合\\(B\\)用描述法表示为\\(\\x\\in \\R|x^2+x-2=0\\\\)，其中\\(x^2+x-2=0\\)是集合\\(B\\)的特征性质。
集合间的关系
子集和真子集
一般地，对于两个集合\\(A,B\\)，若集合\\(A\\)中任意一个元素都是\\(B\\)的元素，则说这两个集合有包含关系，称集合\\(A\\)是集合\\(B\\)的子集，记作：\\(A\\subseteq B\\)(或\\(B\\supseteq A\\))。所以，任意一个集合\\(A\\)都是它本身的子集，即\\(A\\subseteq A\\)。
我们规定：空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合\\(A\\)，都有\\(\\emptyset \\subseteq A\\)。
如果集合\\(A\\)是集合\\(B\\)的子集，且\\(B\\)中至少有一个元素不属于\\(A\\)，那么集合\\(A\\)叫做集合\\(B\\)的真子集，记作：\\(A\\subsetneq B\\)或\\(B\\supsetneq A\\)。
用Venn图可表示为：
由此可以推知：
1.对于集合\\(A,B,C\\)，如果\\(A\\subseteq B,B\\subseteq C\\)，则\\(A\\subseteq C\\)。
2.对于集合\\(A,B,C\\)，如果\\(A\\subsetneq B,B\\subsetneq C\\)，则\\(A\\subsetneq C\\)。
幂集
对于一个给定的集合\\(A\\)，由它所有子集作为元素组成的集合叫做\\(A\\)的幂集，记作\\(P(A)\\)。
如果\\(|A|=n\\)，则\\(|P(A)|=2^|A|\\)。(其中\\(|A|\\)表示集合\\(A\\)中元素的个数，或称集合\\(A\\)的势)
集合的相等
一般地，如果集合\\(A\\)中每个元素都是集合\\(B\\)中的元素，且集合\\(B\\)中每个元素都是集合\\(A\\)中的元素，则称集合\\(A\\)等于集合\\(B\\)?，记作\\(A=B\\)。
由相等的定义可得：如果\\(A\\subseteq B,B\\subseteq A\\)，那么\\(A=B\\)。
集合的运算
交集
由两个给定集合\\(A,B\\)的公共元素构成的集合叫做集合\\(A,B\\)的交集，记作\\(A\\cap B\\)。
用Venn图可表示为：
由交集的定义得，对于任意两个集合\\(A,B\\)，都有：
\\(A\\cap B=B\\cap A\\)
\\(A\\cap A=A\\)
\\(A\\cap \\emptyset=\\emptyset\\cap A=\\emptyset\\)
若\\(A\\subseteq B,\\)则\\(A\\cap B=A\\)
并集
由两个给定集合\\(A,B\\)的所有元素构成的集合叫做\\(A,B\\)的并集，记作\\(A\\cup B\\)。
由Venn图可表示为：
由并集的定义得，对于任意两个集合\\(A,B\\)，都有：
\\(A\\cup B=B\\cup A\\)
\\(A\\cup A=A\\)
\\(A\\cup \\emptyset =\\emptyset \\cup A=A\\)
若\\(A\\subseteq B,\\)则\\(A\\cup B=B\\)
补集
在研究集合间的关系时，如果要研究的集合都是一个给定集合的子集，则称此集合为全集，通常用\\(U\\)表示。
全集是相对的。
例如，研究数集时，常把实数集\\(\\R\\)作为全集；只研究自然数时，就把自然数集\\(\\N\\)作为全集。
如果知道集合\\(A\\)是全集\\(U\\)的一个子集，由\\(U\\)中所有不属于\\(A\\)的元素组成的集合，叫做\\(A\\)在\\(U\\)中的(绝对)补集，记作：
\\(\\complement_UA\\)(~\\(A\\))
用Venn图可表示为：
若给定集合\\(A,B\\)，则\\(A\\)在\\(B\\)中的相对补集(差集)由属于\\(B\\)而不属于\\(A\\)的元素组成，记作\\(B-A\\)。
\\(A\\)在\\(B\\)中的差集其实就可以理解为\\(A\\cap B\\)在\\(B\\)中的补集。
对称差
对于给定的集合\\(A,B\\)，只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素构成的集合叫做这个集合的对称差，记作：
\\(A\\Delta B\\)(\\(A\\oplus B\\))。
用Venn图可表示为：
集合运算在位运算中的表示
交集：A&B
并集：A|B
补集：~A
对称差：A^B
逻辑运算
逻辑连结词
在逻辑或数学中，我们常用逻辑词连结两个命题组成一个新命题，而常用的逻辑连结词有“且” “或” “非”。
且
若有命题\\(p,q\\)，用"且"连结可组成一个新命题，记作\\(p\\wedge q\\)。只有\\(p,q\\)都是真命题时，\\(p\\wedge q\\)才是真命题。
或
若有命题\\(p,q\\)，用"或"连结可组成一个新命题，记作\\(p\\vee q\\)。只要\\(p,q\\)中有至少一个是真命题时，\\(p\\vee q\\)就是真命题。
非
若有命题\\(p\\)，对它加以否定则构成一个新命题，记作\\(\\neg p\\)。\\(p\\)和\\(\\neg p\\)的真假相反。
异或的表示：\\(a \\oplus b=(\\neg a\\wedge b)\\vee (a\\wedge \\neg b)\\)
优先级：非>与>异或>或
量词
对于含有变量的语句，当对它赋予一个值或条件时就可以成为一个命题。
全称量词
表示陈述事物全体的量词叫做全称量词，用符号\\(\\forall\\)表示；含有全称量词的命题，叫做全称命题。
设\\(p(x)\\)是某集合\\(M\\)所有元素都含有的性质，则一个全称命题可记为：\\(\\forall x\\in M,p(x).\\)
存在量词
表示陈述事物个体或部分的量词叫做存在量词，用符号\\(\\exist\\)表示；含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
类似的，一个存在性命题可记为\\(\\exists x\\in M,p(x).\\)
以上是关于集合和逻辑运算的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章