HDU4815 Little Tiger vs. Deep Monkey——0-1背包

Posted 2022-07-31 findview

题目描述

对于n道题目，每道题目有一个分值，答对加分，答错不得分，你要和一个叫深猴的比赛，题目你可以假设成判断题（不是对就是错），深猴对于所有的题目都是随机选择一个答案，而你是有脑子的，求为了不输掉比赛（平局或你获胜）的可能性至少为p时你至少需要得到多少分，有t组数据，每次输入两行，第一行为n，p（有n道题目，n<=40, 不会输的可能性为p，0.0<=p<=1.0），第二行输入n个1~1000的整数，代表这n道题分别答对能获得的分数

样例输入

1
3 0.5
1 2 3

样例输出

3

题目分析

首先对于这n道题目，深猴每次不是√就是×，那么答完所有的题目它的分数有2^n个结果（但是这其中可能会重复，比如三道题每题一分1 0 0和0 0 1其实得到的分数是一样的），而对于我们而言，我需要求出这n个题目自己得到每一种可能的分数的可能性，然后按分数从小到大将，这得到这些分数的概率相加，直到有一个分数m时，前面相加的概率和>=p，则在分数大于等于m时，确保我有至少p的概率不会输掉比赛

错误示例

我第一次做这道题目的时候想的通过递归计算出做出n个选择之后我可以得到的每一个分数的种数存放在a数组中，a[i]代表总分为i的种数，而又建立了一个辅助数组b[i]存放分数比i小的种数有多少种，很显然b[i] = b[i-1] + a[i-1]（比i小的数量等于比i-1小的数量加上a[i-1]的数量），最后也是从小到大将每一种得分的可能性相加直到大于等于p时的分数则是答案，是一种前缀和的思想，但是会超时

 1 #include<iostream>
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<string.h>
 4 #include<math.h>
 5 using namespace std;
 6 
 7 int k[45];
 8 int a[40005];
 9 int b[40005];
10 int n;
11 double p;
12 
13 void dfs(int i, int flag, int sum)            //第i个 选or不选 前一个状态的和 
14     if(i > n)            //只有当所有的n个都作出了选择之后才能算是一种选择方案 
15         a[sum]++;
16         return; 
17     
18     if(flag == 1)            //选 
19         int next_sum = sum + k[i];
20 //        a[next_sum]++;
21         dfs(i+1, 1, next_sum);
22         dfs(i+1, 0, next_sum);
23     else                    //不选 
24         int next_sum = sum;
25 //        a[next_sum]++;
26         dfs(i+1, 1, next_sum);
27         dfs(i+1, 0, next_sum);
28     
29 
30 
31 void run()
32     //下一个的下标 选or不选 目前为止的和 
33     dfs(1, 1, 0);
34     dfs(1, 0, 0); 
35 
36 
37 void pre()
38     b[1] = 1;    
39     int end = n*1000;                
40     for(int i = 2; i <= end; i++)    //b[i]存放比i小的取法的数量 
41         b[i] = b[i-1] + a[i-1];        
42     
43 
44 
45 void judge()
46     double m = 1;
47     for(int i = 1; i <= n; i++)
48         m *= 2;
49         
50     m *= p;
51     long long x = ceil(m);
52     int ans;
53     int end = n*1000;        
54     for(int i = 1; i <= end; i++)
55         if(b[i] >= x)
56             ans = i;
57             break;
58          
59      
60     printf("%d\n", ans);
61 
62 
63 int main()
64     int t;
65     scanf("%d", &t);
66     while(t--)
67         scanf("%d%lf", &n, &p);
68         memset(a, 0, sizeof(a));
69         memset(b, 0, sizeof(b));
70         for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &k[i]);
71         run();
72         pre();
73         judge();
74     
75     return 0;
76  

 

正确思路

本题可以用到动态规划，0-1背包的思想，a[i]存放这n个题目的分数，dp[i][j]存放前i题，得到j分数的种数，而我们很显然可以想到，对于分数j，如果dp[i][j]可以得到，则他一定是dp[i-1][j-a[i]](第i题的分数取的种数) + dp[i-1][j](第i题的分数不取的种数)的基础上来的（对于第i题而言取的话，j == j - a[i] + a[i]，不取的话就是i-1个问题，分数为j的种数，是0-1背包的问题），所以我们也可以对此用一个一维数组进行优化，dp[x]存放分数为x的种数，而初始化时dp[0] == 1，因为可以理解成前0题，得到0分的种数为1

正确代码

 1 #include<iostream>
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<math.h>
 4 #include<string.h>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int N = 40005;
 8 int a[45];
 9 double dp[N];
10 int n;
11 double p;
12 
13 int main()
14     int t;
15     scanf("%d", &t);
16     while(t--)
17         scanf("%d%lf", &n, &p);
18         int sum = 0;
19         for(int i = 1;i <= n; i++)        //sum统计最大可以得到的分数 
20             scanf("%d", &a[i]);
21             sum += a[i];    
22          
23         memset(dp, 0, sizeof(dp));
24         dp[0] = 1;                //前0题，得到0分的次数位1 
25         for(int i = 1; i <= n; i++)            //类似于0-1背包的两个循环 
26             for(int j = sum; j >= a[i]; j--)    
27                 dp[j] += dp[j-a[i]];            //核心步骤，对于dp[j]而言，得分为j的种数是前i-1个时得分为j-a[i] 也就是取第i题,加上前i-1个时得分为j的种数 也就是不取第i题
28             
29          
30         double m = pow(2,n);        //统计所有的深猴的得分个数 
31         int ans = 0;
32         double ssum = 0;
33         for(int i = 0; i <= sum; i++)
34             dp[i] /= m;                //从小到大将概率累加直到大于等于p时的分数i就是答案，注意0也是一个得分 
35             ssum += dp[i];
36             if(ssum >= p)
37                 ans = i;
38                 break;
39             
40          
41         printf("%d\n", ans);
42     
43     return 0;
44