图论——一个迷人的世界

Posted 2022-07-29 zeppelin

虽然不允许我们看透自然界本质的秘密，从而认识现象的真实原因，但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象。 ——莱昂哈德·欧拉

起源

说到图论，不得不说数学大神欧拉了，图论起源于一个非常经典的问题——柯尼斯堡七桥问题。

在18世纪初普鲁士柯尼斯堡有一条大河，河中有两个小岛。全城被大河分割成四块陆地，河上架有七座桥，把四块陆地联系起来(如上图)。当时许多市民都在思索一个问题:一个散步者能否从某一陆地出发，不重复地经过每座桥一次，最后回到原来的出发地。

欧拉把七桥问题进行了数学的抽象。用A、B、C、D四个点表示四块陆地，用两点间的一条线表示连接两块陆地之间的一座桥，就得到如下图所示的一个由四个点和七条线组成的图形。

这样，七桥问题就转化为一个抽象图形是否可以“一笔画”的问题，即笔不准离开纸，一口气画成整个图形；且每一条线只许画一次，不得重复。这样的图形能不能一笔画呢?

答案是不能。

因为除了起点和终点之外，我们把其余的点称为中间点。如果一个图可以一笔画的话，对于每一个中间点来说，当画笔沿某条线到达这一点时，必定要沿另一条线离开这点，并且进入这点几次，就要离开这点几次，一进一出，两两配对，所以从这点发出的线必然要是偶数条。因此，一个图形能否一笔画必须满足如下两个条件：

1. 图形必须是连通的。

2. 图中的“奇点”个数是0或2。

注意这里的“奇点”指的是每个顶点连的边的个数，即顶点的度。上图中A点的度为5，B、C、D点的度都为3，四个点都是与奇数条边相连，根据一笔画条件是不能满足的，从而证明了七桥问题所要求的走法是不存在的。

在1736年，29岁的瑞典数学家欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题。并且发表了论文《关于位置几何问题的解法》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。

由此图论诞生，欧拉也成为图论的创始人。

莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。

他是科学史上最多产的一位杰出的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

一笔画

1. 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

2. 凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

3. 其他情况的图都不能一笔画出。

参考网站：http://www.shuxuebang.com/mtbd_1684.html