P5445 [APIO2019]路灯

Posted 2022-07-29 lltyyc

传送门·

对于询问 $(a,b)$ ，感觉一维很不好维护，考虑把询问看成平面上的一个点，坐标为 $(a,b)$

每个坐标 $(x,y)$ 的值表示到当前 $x$ 和 $y$ 联通的时间和

考虑一个修改的贡献，它其实就是把左边一段区间 $[l,x]$ 和右边一段区间 $[x+1,r]$ 联通或断开

放到平面上发现其实就是横坐标在 $[l,x]$ ，纵坐标在 $[x+1,r]$ 的矩形里修改，那么矩形左下角为 $[l,x+1]$，右上角为 $[x,r]$

如果每个时间点都把相应矩形 $+1$ 的话显然是不可行的，考虑起点和终点的时间差

如果当前操作是联通，设当前时间为 $t$，则把相应矩形 $-t$，如果是断开则把矩形加 $t$

这样我们询问时直接矩形单点查值即可，但是要注意，如果查询时当前区间仍然联通，那么对应矩形还没加 $t$ ，我们查完值以后答案还要再加 $t$

矩形加具体就是差分成四个前缀修改，查询的时候直接查左下所有位置的和即可

如果把左下角为 $(xa,ya)$，右上角 $(xb,yb)$ 的闭区间都加一个 $v$，那么其实就是把 $(0,0),(xa,ya)$ 加一个 $v$，$(0,0),(xa,yb+1)$ 减 $v$，$(0,0),(xb+1,ya)$ 减 $v$，$(0,0),(xb+1,yb+1)$ 加 $v$

二维平面加一维时间轴， $CDQ$ 分治即可

然后就是具体的维护了，我维护亮灯区间用的是闭区间，好像比较多细节...

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()

    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)  if(ch==‘-‘) f=-1; ch=getchar(); 
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)  x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); 
    return x*f;

const int N=6e5+7;
char s[N];
int n,Q,tot;
struct dat//区间
    int l,r;
    dat (int a=0,int b=0)  l=a,r=b; 
    inline bool operator < (const dat &tmp) const 
        return l<tmp.l;
    
;
set <dat> S;//维护开灯的区间
set <dat>::iterator ita,itb;
struct Poi//CDQ分治的点
    int x,y,id,v;//id=0表示是修改，v是修改的值
    Poi (int a=0,int b=0,int c=0,int d=0)  x=a,y=b,id=c,v=d; 
d[N<<2],tmp[N<<2];
int t[N];
inline void add(int x,int v)  while(x<=n+1) t[x]+=v,x+=x&-x; 
inline int ask(int x)  int res=0; while(x) res+=t[x],x-=x&-x; return res; 
inline bool fc(Poi &a,Poi &b)  if(a.x!=b.x) return a.x<b.x; return a.y!=b.y ? a.y<b.y : a.id<b.id; 
int ans[N];
void solve(int l,int r)

    if(l==r) return; int mid=l+r>>1;
    solve(l,mid); solve(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,p=l-1;
    while(i<=mid&&j<=r)
    
        if(fc(d[i],d[j]))
        
            if(!d[i].id) add(d[i].y,d[i].v);
            tmp[++p]=d[i++]; continue;
        
        if(d[j].id) ans[d[j].id]+=ask(d[j].y);
        tmp[++p]=d[j++];
    
    while(i<=mid)  if(!d[i].id) add(d[i].y,d[i].v); tmp[++p]=d[i++];  
    while(j<=r)  if(d[j].id) ans[d[j].id]+=ask(d[j].y); tmp[++p]=d[j++]; 
    for(int k=l;k<=mid;k++) if(!d[k].id) add(d[k].y,-d[k].v);//撤销
    for(int k=l;k<=r;k++) d[k]=tmp[k];

int main()

    n=read(),Q=read();
    scanf("%s",s+1);
    S.insert(dat(0,0)); S.insert(dat(n+1,n+1));//初始虚区间防越界
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        if(s[i]==‘0‘) continue;
        int R=i; while(s[R+1]==‘1‘) R++;
        S.insert(dat(i,R)); i=R;//初始情况
    
    char ch[17]; int a,b,cnt=0;
    for(int i=1;i<=Q;i++)
    
        scanf("%s",ch); a=read();
        if(ch[0]==‘q‘)
        
            b=read();
            d[++tot]=Poi(a,b,++cnt,0);//询问点
            ita=S.lower_bound(dat(a+1,0)); ita--;
            itb=S.lower_bound(dat(b,0)); itb--;
            if( ita==itb && (*ita).r>=b-1 ) ans[cnt]+=i;//判断区间是否还联通
            continue;
        
        if(s[a]==‘0‘)//联通
        
            ita=S.lower_bound(dat(a+1,0)); ita--; itb=ita; ita++;//找到左右区间
            dat A=(*ita),B=(*itb); int l=a,r=a;
            if(B.r==l-1&&B.l>=1) l=B.l,S.erase(B);//注意判断,注意边界
            if(A.l==r+1&&A.r<=n) r=A.r,S.erase(A);
            S.insert(dat(l,r));
            d[++tot]=Poi(l,a+1,0,-i); d[++tot]=Poi(a+1,r+2,0,-i);
            d[++tot]=Poi(l,r+2,0,i); d[++tot]=Poi(a+1,a,0,i);
            //联通时矩形-i
            s[a]=‘1‘; continue;
        
        //断开
        ita=S.lower_bound(dat(a+1,0)); ita--; dat A=(*ita);
        S.erase(A); if(A.l<a) S.insert(dat(A.l,a-1)); if(A.r>a) S.insert(dat(a+1,A.r));//注意边界
        d[++tot]=Poi(A.l,a+1,0,i); d[++tot]=Poi(a+1,A.r+2,0,i);
        d[++tot]=Poi(A.l,A.r+2,0,-i); d[++tot]=Poi(a+1,a,0,-i);
        //断开时矩形+i
        s[a]=‘0‘;
    
    solve(1,tot);
    for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;