「Luogu5395」模板第二类斯特林数·行

Posted 2022-07-29 lizbaka

「Luogu5395」【模板】第二类斯特林数·行

problem

Solution

一句话题意：求\\(_i=0^n\\beginBmatrixn\\\\i\\endBmatrix\\)

根据第二类斯特林数的展开式，有
\\[\\beginBmatrixn\\\\k\\endBmatrix=\\frac1k!\\sum_i=0^k(-1)^i\\beginpmatrixk\\\\i\\endpmatrix(k-i)^n\\]

具体证明可以看这里

进一步整理，式子化为

\\[\\beginBmatrixn\\\\k\\endBmatrix=\\sum_i=0^k\\frac(-1)^ii!\\times \\frac(k-i)^n(k-i)!\\]

可以发现这是一个卷积的形式

构造多项式

\\[F(x)=\\sum_i=0^n\\frac(-1)^ii!x^i\\]

\\[G(x)=\\sum_i=0^n\\fraci^ni!x^i\\]

\\[S(x)=F(x)*G(x)\\]

则\\(S(x)\\)的\\(k\\)次项系数即为\\(\\beginBmatrixn\\\\k\\endBmatrix\\)

预处理阶乘的逆元

本题的模数有原根\\(3\\)，所以直接用\\(NTT\\)做卷积就可以了

时间复杂度\\(O(n\\log n)\\)

Code

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define inv(x) (fastpow((x),mod-2))
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=200005;
const ll mod=167772161,g=3,ig=55924054;
int n;
ll a[maxn<<2],b[maxn<<2],ifac[maxn];

ll fastpow(ll a,ll b)

    ll re=1,base=a;
    while(b)
    
        if(b&1)
            re=re*base%mod;
        base=base*base%mod;
        b>>=1;
    
    return re;


int len;
int rev[maxn<<2];

void NTT(ll *f,int type)

    for(register int i=0;i<len;++i)
        if(i<rev[i])
            swap(f[i],f[rev[i]]);
    for(register int p=2;p<=len;p<<=1)
    
        int length=p>>1;
        ll unr=fastpow(type==1?g:ig,(mod-1)/p);
        for(register int l=0;l<len;l+=p)
        
            ll w=1;
            for(register int i=l;i<l+length;++i,w=w*unr%mod)
            
                ll tt=f[i+length]*w%mod;
                f[i+length]=(f[i]-tt+mod)%mod;
                f[i]=(f[i]+tt)%mod;
            
        
    
    if(type==-1)
    
        ll ilen=inv(len);
        for(register int i=0;i<len;++i)
            f[i]=f[i]*ilen%mod;
    


int main()

    scanf("%d",&n);
    ifac[0]=1;
    for(register ll i=1;i<=n;++i)
        ifac[i]=ifac[i-1]*i%mod;
    ifac[n]=inv(ifac[n]);
    for(register ll i=n-1;i;--i)
        ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    for(register int i=0,o=1;i<=n;++i,o=mod-o)
        a[i]=o*ifac[i]%mod,b[i]=fastpow(i,n)*ifac[i]%mod;
    for(len=1;len<=n+n;len<<=1);
    for(register int i=1;i<len;++i)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(len>>1):0);
    NTT(a,1);
    NTT(b,1);
    for(register int i=0;i<len;++i)
        a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    NTT(a,-1);
    for(register int i=0;i<=n;++i)
        printf("%lld ",a[i]);