「刷题」JZPKIL

Posted 2022-07-28 lrefrain

　　这道反演题，真牛逼。

　　以下用$B$代表伯努利数，$l*g=f$代表狄利克雷卷积,先推式子。

　　对于给出的$n,x,y$求一百组数据的$ans$

$\beginarrayrcl ans & = & \sum\limits_i=1^ngcd(i,n)^xlcm(i,n)^y\endarray$

 

$\beginarrayrcl & = & \sum\limits_i=1^ngcd(i,n)^x\frac(in)^ygcd(i,n)^y\endarray$

 

$\beginarrayrcl & = & \sum\limits_i=1^ngcd(i,n)^x-y(in)^y\endarray$

 

$\beginarrayrcl & = & n^y\sum\limits_i=1^ni^ygcd(i,n)^x-y\endarray$

 

$\beginarrayrcl & = & n^y\sum\limits_d|nd^x-y \sum \limits_i=1^\lfloor \fracnd \rfloor (id)^y[gcd(i,\lfloor\fracnd \rfloor)=1]\endarray$

 

$\beginarrayrcl & = & n^y\sum\limits_d|nd^x\sum\limits_i=1^\lfloor \fracnd \rfloori^y\sum\limits_t|gcd(i,\lfloor \fracnd \rfloor)\mu(t)\endarray$

 

$\beginarrayrcl & = & n^y\sum\limits_d|nd^x\sum\limits_t|\lfloor\fracnd\rfloor\mu(t)t^y\sum\limits_i=1^\lfloor\fracntd\rfloori^y\endarray$

 

 

 $\beginarrayrcl\sum\limits_i=0^\lfloor\fracntd\rfloori^y & = & \frac1y+1\sum\limits_i=0^yC_y+1^iB_i(\lfloor\fracntd\rfloor)^y-i+1\endarray$

 

$\beginarrayrclR_i & = & \fracC_y+1^iB_iy+1\endarray$

 

$\beginarrayrclans & = & n^y\sum\limits_d|nd^x\sum\limits_t|\lfloor\fracnd\rfloor\mu(t)t^y\sum\limits_i=0^yR_i(\lfloor\fracntd\rfloor)^y-i+1\endarray$

 

$\beginarrayrcl & = & \sum\limits_i=1^yR_in^y\sum\limits_d|nd^x\sum\limits_t|\lfloor\fracnd\rfloor\mu(t)t^y(\lfloor\fracntd\rfloor)^y-i+1\endarray$

 

$\beginarrayrclf_i,x,y(n) & = & n^y\sum\limits_d|nd^x\sum\limits_t|\lfloor\fracnd\rfloor\mu(t)t^y(\lfloor\fracntd\rfloor)^y-i+1\endarray$

 

分析$f_i,x,y(n)$。

 

$\beginarrayrcl l(x) & = & \mu(x)x^y \endarray$

 

$\beginarrayrcl q_r(x)=x^r\endarray$

 

$l,q$ 均为积性函数。

 

$\beginarrayrcl g(n) & = & \sum\limits_d|n\mu(d)d^yq(\lfloor\fracnd\rfloor)\endarray$

 

$\beginarrayrcl g(n) & = & l(n)*q(n)\endarray$

 

也为积性函数。

 

$\beginarrayrcl f(n) & = & \sum\limits_d|nq(d)g(\lfloor\fracnd\rfloor)\\ & = & q(n)*g(n)\endarray$

 

所以$f_i,x,y(n)$是积性函数。

 

$\beginarrayrclans & = & \sum\limits_i=0^yR_if_i,x,y(n)\endarray$

 

$n$为$1e18$考虑用$O(n1/4)$的$Pollard_Rho$算法对$n$进行质因分解。

 

$n=\_p^c$

 

$\beginarrayrclf_i,x,y(p^c) & = & p^cy\sum\limits_d|p^c\sum\limits_t|\lfloor\fracp^cd\rfloor\mu(t)t^y(\lfloor\fracp^ctd\rfloor)^y-i+1\endarray$

 

$\beginarrayrcl & = & p^cy\sum\limits_j=0^cp^jx\sum\limits_k=0^c-j\mu(p^k)p^ky(p^c-j-k)^y-i+1\endarray$

 

当k=1或者0的时候，莫比乌斯函数不为0。

 

$\beginarrayrcl & = & p^cy\sum\limits_j=0^c p^jx[(p^c-j)^y-i+1-p^y(p^c-j-1)^y-i+1]\endarray$

 

问题得到解决。

 

知识点：

莫比乌斯反演

狄利克雷卷积

积性函数

自然数幂和

伯努利数

$Miller\_Rabin$素数测试

$Pollard\_Rho$质因数分解

费马小定理

二次初探原理

生日悖论

 

有兴趣的可以尝试一下，是道好题。