Two Arithmetic Progressions (exgcd的一些注意事项

Posted 2022-07-20 -ifrush

题意：You are given two arithmetic progressions: a₁k + b₁ and a₂l + b₂. Find the number of integers x such that L ≤ x ≤ R and x = a₁k‘ + b₁ = a₂l‘ + b₂, for some integers k‘, l‘ ≥ 0。

分析：

化为  a₁k - a₂l  =  b₂- b₁ ，求解二元一次不定方程，看正整数解x，y分别代入后有多少落在L，R之间，取最小的为答案即可

but，思路很简单的一道题，却因为以下错误debug了一上午

1, Q：ax - by =c 与  ax + by =c 解的不同

觉得这两个一样，所以写的 exgcd( a1 ,a2 ,b2-b1 ,x ,y)

事实是：对于求x的最小正整数解，这两个是一样的 ，对于求y的最小正整数解，这两个不一样

所以这道题 应该写成exgcd( a1 ,-a2 ,b2-b1 ,x ,y)

 

2,c++对于负数的取余规则

c++取余结果是这样的 ： a%b = (a的符号)（abs(a)%abs(b)），这跟数论负数取余规则不一样，所以要避免对负数取余情况的发生

bool lieu( ll a ,ll b ,ll c ,ll &x ,ll &y )
    g = ex_gcd( a ,b ,x ,y );
    if( c%g ) return 0;
    ll k = c/g ;
    mb = abs(a/g) ,ma = abs(b/g);
    x *= k; y *= k;
    x = (x%ma + ma)%ma;
        y = (y%mb + mb)%mb;
    return 1;

开始没注意通解的模ma，mb的正负， 以后这个模板这里都要加abs（）

 

#include <bits/stdc++.h>
#define mem( a ,x ) memset( a ,x ,sizeof(a))
#define rep( i ,x ,y ) for( int i = x ; i <= y ; i++ )
using namespace std;

typedef long long ll;


ll L ,R ,n ,a1 ,a2 ,b1 ,b2;
ll g ,ma ,mb;

ll ex_gcd( ll a ,ll b ,ll &x ,ll &y )
    if( !b )
        x = 1; y = 0; return a;
    
    ll d = ex_gcd( b ,a%b ,x ,y );
    ll t = x;
    x = y;
    y = t - a/b * y;
    return d;


bool lieu( ll a ,ll b ,ll c ,ll &x ,ll &y )
    g = ex_gcd( a ,b ,x ,y );
    if( c%g ) return 0;
    ll k = c/g ;
    //模板修正 ：加abs 
    mb = abs(a/g) ,ma = abs(b/g);
    x *= k; y *= k;
    x = (x%ma + ma)%ma;
    y = (y%mb + mb)%mb;
    return 1;



int main( )
    ll ans1 = 0 ,ans2 = .0;
    cin >>a1 >>b1 >>a2 >>b2 >>L >>R;
    ll x ,y ,l1 ,r1 ,l2 ,r2;
    //cout<< (-6)%4 <<endl;
    if( lieu(a1 ,-a2 ,b2-b1 ,x ,y ) )
        x = a1*x + b1;
        y = a2*y + b2;
        
        ma = abs(ma*a1);
        mb = abs(mb*a2);
                
        l1 = max( 1ll*0 ,L - x) ,r1 = R - x;
        l2 = max( 1ll*0 ,L - y) ,r2 = R - y;
        
        if( r1 >=0 )
        l1 = (l1/ma*ma) < l1 ? (l1/ma*ma)+ma : (l1/ma*ma);
        r1 = (r1/ma*ma);
        ans1 = (r1-l1)/ma+1;
         
         
         if( r2 >=0 )
        l2 = (l2/mb*mb) < l2 ? (l2/mb*mb)+mb : (l2/mb*mb);
        r2 = (r2/mb*mb);
        ans2 = (r2-l2)/mb+1;
        
    
    printf("%lld" ,min( ans2 ,ans1) );
    return 0;