[Solution] [CQOI2016]手机号码

Posted 2022-07-20 bj2002

是一道数位DP。可以用记忆化搜索解决。

题目地址

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这道题细节非常多。可以考虑分步进行。

• 求\(L?\)到\(R?\)之间的符合条件的数，可以等价为求\(\text1~R?\)之间的符合条件的数减去$text1~L-1$之间符合条件的数。

• 那我先写一个搜索求解\(L?\)：

void DFS (int X , int K , int U , int _4 , int _8 , int T) 
//变量名介绍：X代表当前的位数，K代表当前位所填的数字，U=1表示卡上界，否则不卡。_4和_8分别是有没有出现过4和8，T=3表示已完成三连号，否则表示未完成，且T等于当前连号。
    if (X == N - 1) 
        if (T == 3) ++ Ans ;
        return ;
    
//如果符合条件，就累加答案。
    int Goto = Base - 1 ;
    if (U) Goto = L[X + 1] ;
//如果卡了上界，应该进行特判。
    for (int i = 0 ; i <= Goto ; ++ i) 
        if (_4 && i == 8) continue ;
        if (_8 && i == 4) continue ;
        //如果同时出现8和4就跳过这一步。
        if (T == 3) 
            DFS ( X + 1 , i , L[X + 1] == i && U ? 1 : 0 ,
            i == 4 || _4 ,i == 8 || _8 , 3) ;
         else DFS ( X + 1 , i , L[X + 1] == i && U ? 1 : 0 ,
         i == 4 || _4 ,i == 8 || _8 , i == K ? T + 1 : 1) ;
    

• 上面的代码可以在数位较少时得出正确结果。但是当数位较大(\(10^10≤L<10^11?\))就会TLE。

• 搜索是盲目的，因为它做了很多重复性的工作。(By Instructor Li)

• 对于\(\textDFS (int X , int K , int U , int _4 , int _8 , int T)?\)，它的同一组参数所得到的结果应该是一样的。这是进行记忆化搜索的前提。

• 具体地说，开一个数组\(\text F[20][10][2][2][2][4]\)。其中六个维度分别对应\(\textDFS\)的六个参数。

• 我们每次搜索完成后，把Ans的改变量\(\delta Ans\)结果记录在上述数组里，下一次遇到同一组参数，只要在\(Ans\)增加上已记录的答案，然后返回即可。

• 改进版本：

void DFS (int X , int K , int U , int _4 , int _8 , int T) 
//这一部分的变量名解释和刚才一样。
    if (X == N - 1) 
        if (T == 3) ++ Ans ;
        return ;
    
    if (F[X][K][U][_4][_8][T] != -1) 
        Ans += F[X][K][U][_4][_8][T] ;
        return ;
    
    //遇到同一组参数，只要在$Ans$增加上已记录的答案，然后返回即可。
    F[X][K][U][_4][_8][T] = Ans;
    int Goto = Base - 1 ;
    if (U) Goto = L[X + 1] ;
    for (int i = 0 ; i <= Goto ; ++ i) 
        if (_4 && i == 8) continue ;
        if (_8 && i == 4) continue ;
        if (T == 3) 
            DFS ( X + 1 , i , L[X + 1] == i && U ? 1 : 0 , i == 4 || _4 ,i == 8 || _8 , 3) ;
         else DFS ( X + 1 , i , L[X + 1] == i && U ? 1 : 0 , i == 4 || _4 ,i == 8 || _8 , i == K ? T + 1 : 1) ;
    
    F[X][K][U][_4][_8][T] = Ans - F[X][K][U][_4][_8][T] ;
    //把Ans的改变量δAns结果记录在上述数组里

• 这个版本已经可以快速完成求解。

其他要点：

• 注意开\(\textlong long\)
• 注意细节，例如\(L-1\)的边界情况。

Thanks !