E - GuGuFishtion HDU - 6390(欧拉函数 / 莫比乌斯反演)
Posted jvruodejrLS
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了E - GuGuFishtion HDU - 6390(欧拉函数 / 莫比乌斯反演)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
GuGuFishtion (HDU - 6390)
题意:
定义\(G_u (a,b)=\frac{\phi(ab)}{\phi(a)\phi(b)}\)。
求\((\sum\limits_{a=1}^m\sum\limits_{b=1}^nG_u (a,b))\pmod p\)。
题解:
考虑\(\phi(x) = x*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})...*(1-\frac{1}{p_n})\)。
将\(G_u (a,b)\)的分子与分母按上述分解、约分后,得\(\frac{1}{(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})...(1-\frac{1}{p_k})}\),其中\(p_1*p_2*p_3...p_k=gcd(a,b)\)。
上下同时乘以\(gcd(a,b)\),则\(G_u (a,b)=\frac{gcd(a,b)}{\phi(gcd(a,b))}\)。
问题变成了求\((\sum\limits_{a=1}^m\sum\limits_{b=1}^n\frac{gcd(a,b)}{\phi(gcd(a,b))})\pmod p\)。
上式 \(=(\sum_d^{min(n, m)}\frac{d}{\phi(d)}\sum\limits_{a=1}^m\sum\limits_{b=1}^n[gcd(a,b)==d])\pmod p\)。
对于\(\sum\limits_{a=1}^m\sum\limits_{b=1}^n[gcd(a,b)==d]\),即\(\sum\limits_{a=1}^{m/d}\sum\limits_{b=1}^{n/d}[gcd(a,b)==1]\),可以用莫比乌斯反演求。
代码:
#include <bits/stdc++.h>
#define fopi freopen("in.txt", "r", stdin)
#define fopo freopen("out.txt", "w", stdout)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double ld;
const int maxn = 1e6 + 10;
int check[maxn], phi[maxn], mu[maxn], prime[maxn];
LL inv[maxn], sum[maxn];
void init(int N) {
memset(check, false, sizeof(check));
mu[1] = 1;
phi[1] = 1;
int tot = 0;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
if (!check[i]) {
prime[tot++] = i;
mu[i] = -1;
phi[i] = i-1;
}
for (int j = 0; j < tot; j++) {
if (i * prime[j] > N) break;
check[i * prime[j]] = true;
if (i % prime[j] == 0) {
mu[i * prime[j]] = 0;
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
else {
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
}
}
}
}
LL solve(int n, int m, int p) {
LL res = 0;
for (int i = 1, la = 0; i <= m; i = la+1) {
la = min(n/(n/i), m/(m/i));
res = (res + 1ll * (sum[la] - sum[i-1]) * (n/i) % p * (m/i) % p) % p;
}
return res;
}
int T, n, m, p;
int main() {
init(maxn - 10);
scanf("%d", &T);
while(T--) {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
if (n < m) swap(n, m);
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= m; i++)
inv[i] = 1ll * inv[p % i] * (p - p/i) % p;
for (int i = 1; i <= m; i++)
sum[i] = (sum[i-1] + mu[i] + p) % p;
LL ans = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
ans = (ans + 1ll * i * inv[phi[i]] % p * solve(n/i, m/i, p) % p) % p;
}
printf("%lld\n", ans);
}
}
以上是关于E - GuGuFishtion HDU - 6390(欧拉函数 / 莫比乌斯反演)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
hdu 6390 欧拉函数+容斥(莫比乌斯函数) GuGuFishtion
HDU 6390 GuGuFishtion(莫比乌斯反演 + 欧拉函数性质 + 积性函数)题解