第9场 E-All men are brothers（并查集）

Posted 2022-07-19 young-children

题意：n个人，m次操作，每次操作使得两个人（x，y）成为朋友，朋友的关系是可以传递的，计算执行每次操作后，选择四个人两两都不是朋友的不同方案的数目。

数据范围：（n <= 100000，m <= 200000） （1 <= x <= n，1 <= y <= n，x≠y）

输入要求：

第一行包含两个整数，n和m

在下面的m行中，第i行包含两个整数x和y，这意味着第x个人和 y 这个人在第一轮交友。

第x个人和第y个人可能会在几个回合中结交朋友。

输出要求：

输出m + 1行，每行包含一个整数，即选出4个人的方案数。

在每轮操作开始前和结束后输出，因此有m + 1行。

思路：

我们把所有是朋友的分成一个集合，x所在集合为x集合，同理y集合，其它统一为z集合（里面有若干个并查集）。若x,y在同一个集合，则为（x+y）集合。

如果x,y不在同一集合，总共有x1+z3（x里面选1个，z里面选3个）， y1+z3 ，x1+y1+z2 ，z4 ，这4种情况，

而x,y合并之后, 总共有  z4 ， (x+y)1+z3【等价于 x1+z3， y1+z3】，所以如果需要合并，减去x1+y1+z2这个情况即可。

计算：

最开始所有人都互相不是朋友答案为  ，由于n比较大，需要用到 unsigned long long；

开始合并后：

若x，y不在同一集合，需要合并时，减去x1+y1+z2这种情况 ，

即 a*b*((n-a-b)*(n-a-b)-s+a*a+b*b)/2（a表示x集合人数，b表示y集合人数，s开始为总人数，更新为s+=2*a*b),这里涉及组合数学。

在同一集合时，输出上一轮的答案。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int N=1e5+10;
int f[N],c[N];
ll Find(int x)

    return f[x]==x?x:f[x]=Find(f[x]);

int main()

    ios::sync_with_stdio(0);
    for(int i=0;i<N;i++)
        f[i]=i,c[i]=1;
    ll n; int m; cin>>n>>m;
    ll ans=n*(n-1)/2*(n-2)/3*(n-3)/4,s=n;
    while(m--)
        cout<<ans<<endl;
        int u,v; cin>>u>>v;
        u=Find(u); v=Find(v);
        if(u==v||ans==0) continue;
        ll a=c[u],b=c[v];
        ans-=a*b*((n-a-b)*(n-a-b)-s+a*a+b*b)/2;
        s+=2*a*b;
        c[v]+=c[u];
        f[u]=v;
    
    cout<<ans<<endl;
    return 0;

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