MT347同时取到

Posted 2022-07-19 mathstudy

已知$\\theta \\in[0,2\\pi]$求$2\\cos\\theta-\\sin\\theta-\\dfrac\\sin\\theta+\\sqrt5\\cos\\theta+\\sqrt5$的最小值_____
分析:$2\\cos\\theta-\\sin\\theta-\\dfrac\\sin\\theta+\\sqrt5\\cos\\theta+\\sqrt5=\\textbfON\\cdot \\textbfOP+k_PM\\ge-\\sqrt5-2$

当$P(-\\dfrac2\\sqrt5,\\dfrac1\\sqrt5)$时取到最小值.

如图$M(-\\sqrt5,-\\sqrt5)，N(2,-1)$

 

注：最大值可以用万能公式变形为

$2\\cos\\theta-\\sin\\theta-\\dfrac\\sin\\theta+\\sqrt5\\cos\\theta+\\sqrt5=\\dfrac2-2t^2-2t1+t^2-\\dfrac\\sqrt5t^2+2t+\\sqrt5(\\sqrt5-1)t^2+1+\\sqrt5$

其中$t=\\tan\\dfrac\\theta2\\in R$求导可知

最小值几何意义明显，适合做考题.最大值不适合做考题