[SCOI2015] 小凸玩矩阵

Posted 2022-07-19 pedesis

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题意

　　在一个 $n \times m$ 的矩阵 $A$ 中取出 $n$ 个数，任意两个数不能在同一行或同一列，求取出的第 $k$ 大数的最小值。

数据范围

　　对于 $20\%$ 的数据，$1 \leq N \leq M \leq 9$

　　对于 $40\%$ 的数据，$1 \leq N \leq M \leq 22$，$1 \leq N \leq 12$

　　对于 $100\%$ 的数据，$1 \leq K \leq N \leq M \leq 250$，$1 \leq A_i,j \leq 10^9$

分析

　　如果只是简单的取数，很容易想到把行和列分别放入两个点集做二分图

　　但是这里要求了第 $k$ 大数最小，所以我们可以二分枚举答案，判断该值是否成立

　　这也就相当于判断在小于等于该值的数中，能否取出合法的 $n-k+1$ 个数

　　但如果是在小于该值的数中取出 $n-k$ 个数，这样判断是否可行

　　实际上与枚举出的值相同的数不一定只有一个，这样做不能保证答案的最优性

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 255
#define M (N * N << 1)

int n, m, k, ans, tot, maxflow;
int g[N][N], h[N * N], d[N << 1], cur[N << 1];
int to[M], cap[M], nxt[M], head[N << 1];

void add(int u, int v, int w) 
    to[++tot] = v; cap[tot] = w;
    nxt[tot] = head[u]; head[u] = tot;
    to[++tot] = u; cap[tot] = 0;
    nxt[tot] = head[v]; head[v] = tot;


bool bfs(int s, int t) 
    memset(d, 0, sizeof d);
    queue<int> q;
    d[s] = 1; q.push(s);
    while (!q.empty()) 
        int x = q.front(); q.pop();
        for (int i = head[x]; i; i = nxt[i])
            if (!d[to[i]] && cap[i]) 
                d[to[i]] = d[x] + 1;
                q.push(to[i]);
            
    
    return d[t];


int dfs(int x, int t, int res) 
    if (x == t || !res) return res;
    int flow = 0, f;
    for (int &i = cur[x]; i; i = nxt[i])
        if (d[to[i]] == d[x] + 1 && (f = dfs(to[i], t, min(cap[i], res)))) 
            flow += f; res -= f;
            cap[i] -= f; cap[i ^ 1] += f;
            if (!res) break;
        
    return flow;


bool dinic(int now) 
    int s = 0, t = n + m + 1;
    tot = 1; maxflow = 0;
    memset(head, 0, sizeof head);
    for (int i = 1; i <= n; i++) add(s, i, 1);
    for (int i = 1; i <= m; i++) add(n + i, t, 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            if (g[i][j] <= now) add(i, n + j, 1);
    while (bfs(s, t)) 
        memcpy(cur, head, sizeof cur);
        maxflow += dfs(s, t, inf);
    
    if (maxflow > n - k) return true;
    return false;


int main() 
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) 
            scanf("%d", &g[i][j]);
            h[++h[0]] = g[i][j];
        
    sort(h + 1, h + n * m + 1);
    int l = 1, r = n * m;
    while (l <= r) 
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (dinic(h[mid])) ans = h[mid], r = mid - 1;
        else l = mid + 1;
    
    printf("%d\n", ans);
    
    return 0;

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