欧拉函数性质以及模板

Posted 2022-07-18 philo-zhou

欧拉函数

欧拉函数，符号记作φ(n)φ(n)，其值为小于nn且与nn互质的数的个数

性质

①

对于质数nn

φ(n)=n−1φ(n)=n−1

 

②

对于n=pkn=pk

φ(n)=(p−1)∗pk−1φ(n)=(p−1)∗pk−1

 

③

【积性函数】
对于gcd(n,m)=1gcd(n,m)=1

φ(n∗m)=φ(n)∗φ(m)φ(n∗m)=φ(n)∗φ(m)

 

④

【计算式】
对于n=∏pkiin=∏piki

φ(n)=n∗∏(1−1pi)φ(n)=n∗∏(1−1pi)

 

⑤

【欧拉定理】
对于互质的a,ma,m

aφ(m)≡1(modm)aφ(m)≡1(modm)

 

⑥

小于nn且与nn互质的数的和：

S=n∗φ(n)2S=n∗φ(n)2

 

⑦

对于质数pp
若nmodp=0nmodp=0

φ(n∗p)=φ(n)∗pφ(n∗p)=φ(n)∗p

若nmodp≠0nmodp≠0

φ(n∗p)=φ(n)∗(p−1)φ(n∗p)=φ(n)∗(p−1)

 

⑧

 

∑d|nφ(d)=n∑d|nφ(d)=n

φ(n)=∑d|nμ(d)∗nd