[数据结构]后缀自动机

Posted 2020-11-10 LZM

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[数据结构]后缀自动机相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

前言

对于字符串 $s$ ，$|s|$ 表示s的长度
对于字符集 $A$ , $|A|$ 表示 $A$ 的大小
本文字符串下标一律从0开始。
本文字数较多，如有错别字或者概念性错误，请联系博主或在下方回复。

SAM

后缀自动机 (suffix automaton, SAM) 是一种解决多种字符串问题的数据结构。
SAM基于一个字符串构建的，是给定字符串的所有子串的压缩形式。
标准定义为: 字符串 $s$ 的SAM是一个接受 $s$ 的所有后缀的最小 $\texttt{DFA}$ (确定性有限自动机或确定性有限状态自动机)
我们记 $t_0$ 为字符串的一个虚拟源点，事实上这种操作(构造虚拟节点)应用非常广泛。
那么SAM应当是:

有向无环图，节点为状态，边叫做转移
所有节点都可以由 $t_0$ 到达
每个转移代表一个字母，且任意一个状态的出边的字母不同
存在一个或多个终止状态，使得从 $t_0 $ 到终止状态上的所有转移依访问顺序排列，对应原字符串 $s$ 的某个后缀，且 $s$ 的任何后缀均可以上述方式描述。
SAM是满足以上的条件节点数最小的自动机
简单来说，没有后缀链接的SAM是一棵以 $t_0$ 为源点的无向图。这个图的名字叫做后缀链接树。

没有后缀链接的SAM的样子

目前您暂且不需要知道后缀链接是什么。

空串
字符串 s = "a"
字符串 s = "abbb"

$\tiny\texttt{借用一下oi-wiki中的图片}$

字串的性质

SAM上的任意路径与字符串 $s$ 字串相互映射(可以互相表示)
注意上面这点非常重要。

结束位置

结束位置，通常记作endpos，就是子串在原串中的某一个匹配的最后一个字符在原串中的下标。
我们注意到一个子串的endpos并不唯一，所以结束位置应该时一个集合。
结束位置集合，通常记作endpos集合，表示一个子串在字符串中的所有结束位置。
举个例子，字符串 "abbbabbb" 的子串 "ab" 的endpos集合为{1,5}，

后缀链接

长话短说，后缀链接连接了两个不同的endpos集合，
也就意味着从当前状态最长后缀的endpos集合，跳转到另外的endpos。
就是连接当前子串最长的"与当前子串 endpos 的不同的后缀"与该子串所属状态的边。

后缀链接树

SAM中所有后缀链接构成的树叫做后缀链接树。
后缀链接树非常重要，因为我们后续的针对题目的大部分操作都是在后缀链接树上进行的。

构造SAM

读入需要的字符 c
创建一个新的状态 $cur$ ，并把它的 $len$ 置为上一个状态+1
从上一个状态延链接向前跳跃，更新沿途的 $next$ ，直到跳跃到空或者发现了一个状态 $p$ ，$p$ 已经存在到字符 c 的转移
将 $p$ 通过字符 c 转移到状态即为 $q$
如果$len_p + 1 = len_q$，很简单，将 $cur$ 的后缀链接连到 $q$ 并结束算法。
否则，"复制(copy)" $q$ 至一个新的克隆节点记为 $clone$ ，将 $clone$ 的 $len$ 重新设为 $len_p+1$ ，然后将 $cur$ 和 $q$ 的后缀链接指向 $clone$ 。最终我们需要使用后缀链接从状态 $p$ 往回走，只要存在一条通过 $p$ 到状态 $q$ 的转移，就将该转移重定向到状态 $clone$

代码

原题参照洛谷[模板]后缀自动机。

map版( $O_2$ )

时空需求都较高，但是稳定，可以处理任意字符。
对 $O_2$ 需求很高。

#include <cstdio>
#include <cstring> 
#include <string>
#include <map>

using namespace std;

const int MAXN = 3000005;

int sz[3000005];

struct SAM{
    int size, last;
    struct Node{
        int len, link;
        map<char, int> next;
    } nodes[MAXN];
    void init(){
        nodes[0].len = 0, nodes[0].link = -1;
        size = 1; last = 0;
    }
    void insert(char ch){
        int cur = size++, p; nodes[cur].len = nodes[last].len + 1; sz[cur] = 1;
        for (p = last; ~p && !nodes[p].next.count(ch); p = nodes[p].link)
            nodes[p].next[ch] = cur;
        if (p == -1)
            nodes[cur].link = 0;
        else{
            int q = nodes[p].next[ch];
            if (nodes[p].len + 1 == nodes[q].len)
                nodes[cur].link = q;
            else{
                int clone = size++;
                nodes[clone].len = nodes[p].len + 1;
                nodes[clone].next = nodes[q].next;
                nodes[clone].link = nodes[q].link;
                for ( ; ~p && nodes[p].next[ch] == q; p = nodes[p].link)
                    nodes[p].next[ch] = clone;
                nodes[q].link = nodes[cur].link = clone;
            }
        }
        last = cur;
    }
    void build(char *buf, int len = 0){
        if (!len) len = strlen(buf);
        for (int i = 0; i < len; ++i)
            insert(buf[i]);
    }
} sam;

struct Edge{
    int to, next;
} edges[6000005];

int head[3000005], edge_num;

inline void addEdge(int u, int v){
    edges[++edge_num] = (Edge){v, head[u]};
    head[u] = edge_num;
}

inline void buildParentTree(){
    for (int i = 1; i < sam.size; ++i)
        addEdge(sam.nodes[i].link, i);
}

long long ans = 0;

void DFS(int u){
    for (int c_e = head[u]; c_e; c_e = edges[c_e].next){
        int v = edges[c_e].to;
        DFS(v); sz[u] += sz[v];
    }
    if (sz[u] > 1)
        ans = max(ans, 1ll * sz[u] * sam.nodes[u].len);
}

char ch[1000005];

int main(){
    sam.init(); scanf("%s", ch);
    sam.build(ch); buildParentTree();
    string s = ch;
    DFS(0);
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}

数组版

时空需求较低，但是只能处理子母类问题。

#include <cstdio>
#include <cstring> 
#include <string>

using namespace std;

const int MAXN = 3000005;

int sz[3000005];

struct SAM{
    int size, last;
    struct Node{
        int len, link;
        int next[26];
    } nodes[MAXN];
    void init(){
        nodes[1].len = 0, nodes[1].link = 0;
        size = 2; last = 1;
    }
    void insert(char ch){
        int cur = size++, p; nodes[cur].len = nodes[last].len + 1; sz[cur] = 1;
        for (p = last; p && !nodes[p].next[ch - 'a']; p = nodes[p].link)
            nodes[p].next[ch - 'a'] = cur;
        if (!p)
            nodes[cur].link = 1;
        else{
            int q = nodes[p].next[ch - 'a'];
            if (nodes[p].len + 1 == nodes[q].len)
                nodes[cur].link = q;
            else{
                int clone = size++;
                nodes[clone].len = nodes[p].len + 1;
                memcpy(nodes[clone].next, nodes[q].next, sizeof(nodes[q].next));
                nodes[clone].link = nodes[q].link;
                for ( ; p && nodes[p].next[ch - 'a'] == q; p = nodes[p].link)
                    nodes[p].next[ch - 'a'] = clone;
                nodes[q].link = nodes[cur].link = clone;
            }
        }
        last = cur;
    }
    void build(char *buf, int len = 0){
        if (!len) len = strlen(buf);
        for (int i = 0; i < len; ++i)
            insert(buf[i]);
    }
} sam;

struct Edge{
    int to, next;
} edges[6000005];

int head[3000005], edge_num;

inline void addEdge(int u, int v){
    edges[++edge_num] = (Edge){v, head[u]};
    head[u] = edge_num;
}

inline void buildParentTree(){
    for (int i = 2; i < sam.size; ++i)
        addEdge(sam.nodes[i].link, i);
}

long long ans = 0;

void DFS(int u){
    for (int c_e = head[u]; c_e; c_e = edges[c_e].next){
        int v = edges[c_e].to;
        DFS(v); sz[u] += sz[v];
    }
    if (sz[u] > 1)
        ans = max(ans, 1ll * sz[u] * sam.nodes[u].len);
}

char ch[1000005];

int main(){
    sam.init(); scanf("%s", ch);
    sam.build(ch); buildParentTree();
    string s = ch;
    DFS(1);
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}