贾俊平统计学——概率

Posted 2022-07-17 zm-pop-pk

统计学分为描述性统计和推断统计。推断统计是指通过样本数据对总体特征作出推断，它有3个要素：1.随机观测的样本数据；2.问题的条件和假定；3.对总体所做出的以概率的形式进行表述的推断。因此推断统计与概率论是密不可分的。

 

随机事件、基本事件、样本空间

随机事件是概率论中一个很重要的概念，它不是指一个试验，而是指一个试验的结果，可以用A、B、C等表示，必然事件用$\Omega$表示，不可能事件用$\Phi$表示。

随机事件简称为事件，要注意这一概念是指试验的结果（而不是试验本身），这个结果可以是数值，也可以用文字表述。

基本事件是指不能分解成多个事件的随机事件。在一次试验中，虽然试验的结果有多种可能性，但一次试验的结果只能是所有结果中的一个，即只能发生一种基本事件。而试验的所有结果的总和，即所有基本事件的全体，称为样本空间，记为$\Omega$（必然事件）。

 

随机事件的概率

上面说了一次试验的结果是有多种可能的，那么所有结果中，事件A（可能是基本事件，也可能是几个基本事件的组合）发生的可能性有多大？这个可能性就是事件A的概率，记为$P(A)$，它显然是一个数值。概率有古典定义、统计定义、主观概率定义，我们重点关注统计定义。

概率的统计定义：

相同条件下，随机试验$n$次，事件A发生$m$次，比值$m/n$称为事件A发生的频率；随着$n$的增大，该频率在一常数$p$上下波动，趋于稳定，频率的稳定值即为事件A发生的概率：

$$P(A)=\fracmn=p$$

 

概率的性质

 

1.对于任一随机事件A，有

$0\leq P(A)\leq 1$

2.

$$P(\Omega )=1$$

$$P(\Phi )=0$$

3.若A与B互斥，则

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

概率的加法法则

 对于任一的2个随机事件A和B，它们的和等于：

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

条件概率、乘法公式、独立事件

所有的事件都是在一定的条件下发生的，如果在试验原本的条件之上，又已知了试验结果的部分信息，则事件A发生的概率一般会改变。如在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率，就叫做事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为$P(A\mid B)$。

这里的条件就是“事件B已经发生”，这是我们额外知晓的信息，这个信息相当于给了我们一个“情报”，使我们得以在一个缩小的范围内考虑问题。它会对事件A发生的概率造成影响，一般来说，$P(A\mid B)\neq P(A)$。

条件概率$P(A\mid B)$、概率$P(AB)$、$P(B)$之间的关系如下：

$$P(A\mid B)=\fracP(AB)P(B)$$

由此我们可以得到概率的乘法公式：

$$P(AB)=P(B)\cdot P(A\mid B)$$

上面我们说知晓事件B的发生“一般”会改变事件A发生的概率，那么到底什么时候会改变，什么时候又不影响呢？我们将一个事件的发生不影响另一个事件发生的现象称为这2个事件相互独立。因此在时间A与事件B独立时，$P(A\mid B)=P(B)$。

与独立易混淆的一个概念叫做互斥，很明显，如果事件A和B互斥，则它们必然不独立（有你无我，都影响了对方的发生），独立一定不互斥，互斥一定不独立。