Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown

Posted 2020-07-28 太空工程车

题目：

给定一个数组nums，nums[i]代表的是在第i天的股价
　　例如：[1,2,3,0,10,4]，数组代表的含义是：有6天的股价给你了，从第一天到第六天的股价分别是 1,2,3,0,10,4
　　你买卖股票的次数不限，但是有两个限制：

1. 1. 卖不能在买前面（不能买10，卖0）
   2. 一次交易完成之后，至少休息一天才能继续买入（买1，卖3之后，不能立刻买0，必须至少等一天）

问题：求出最大的获利数（对于例子来说，max=11，买1卖2，休息一天，买0卖10）

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思路：
用dp来解。dp就一定要有状态和状态转换方程。

在每一天，都有3种状态：

1. 　　buy
2. 　　sell
3. 　　rest

那么我们就可以根据给定的数组，新建三个状态数组，代表每天对应的状态。
buy[n], sell[n], rest[n]（n代表给定数组的长度）
那么状态就有了表示方法：
buy[i]：在第i天之前，以buy为结束的任何交易组合的最大利润
sell[i]：在第i天之前，以sell为结束的任何交易组合的最大利润
rest[i]：在第i天之前，以rest为结束的任何交易组合的最大利润
状态转换方程：（price是当前日期的股价）

　　buy[i] = max(rest[i-1] - price, buy[i-1]) 
　　sell[i] = max(buy[i-1] + price, sell[i-1])
　　rest[i] = max(sell[i-1], buy[i-1], rest[i-1])

以上的状态转换方程只是把题目的要求和之前的分析总结起来，例如：buy[i] = 今天买入（必须在休息之后才能买入） 或者 之前就有买入，保持不卖出。
还有一个隐藏的要素：
　　rest[i] = sell[i-1] 这个等式的意义在于，如果在今天休息，那么这天的收益就跟前一天sell相同
那么把这个等式代入，就有：

    buy[i] = max(sell[i-2] - price, buy[i-1])
    sell[i] = max(buy[i-1] + price, sell[i-1])

很好理解，如果要在这一天卖的话，至少要在前两天把之前的股票卖掉（因为间隔为1天）

在这之后，还可以更进一步优化，这里我们可以发现第i天的状态和第i-1天和第i-2天的状态有关，那么就可以不用状态数组，用两个变量来保存i-1和i-2的数据

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代码：

 1     public int maxProfit(int[] prices) {
 2         int sell = 0, prevSell = 0, buy = Integer.MIN_VALUE, prevBuy;
 3         for (int price : prices) {
 4             prevBuy = buy;
 5             buy = Math.max(prevSell - price, prevBuy); //这里buy和sell的赋值顺序不能变，因为prevSell在这里相当于方程中的sell[i-2]
 6             prevSell = sell; //到这里，prevSell就真正变成了sell[i-1]，变成了真正的previous sell
 7             sell = Math.max(prevBuy + price, prevSell);
 8         }
10         return sell;
11     }