POJ 跳蚤

Posted 2022-07-16 accepting

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。 
比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。 
当确定N和M后，显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。 

Input

两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。

Output

可以完成任务的卡片数。

Sample Input

2 4

Sample Output

12

Hint

这12张卡片分别是： 
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4), 
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4) 

看了好久才略懂

题解  无非就一个方程a1*x1+a2*x2+....+an*xn+M*x(n+1)=1;

要想使方程有解__gcd(a1,a2,a3...an,M)=1;

所以我们要只要能是其最大公约数为1 的组合就可以了，那么问题来了如何求呢？

首先我们知道M个数字，N个位置，一共有M^n种选择，为__GCD为1 的情况太多了，我们可以先求出不为1 的情况然后减1，因为问题转换为了求m个数求GCD不为1的组合数

我们知道 每一组数据中都要有M，如果说那么这么多数字的公因子也一定是M的公因子，所以我们首先要对M进行素数分解

然后用容斥原理枚举最大公约数不为 1 的个数，也就是对M的所有质因子进行排列，因为最大公因子不为1，那一定是M的个别因子的组合，假设最大公约数为n，那么除了M其他N个数

必须都是N 的倍数，因此一共有M/n个数可以选择（由于这里是质因子，我们直接除就可以啦，不用求LCM啦）。。共有KSM(M/n,N)中选择（快速幂）

然后就是容斥的奇加偶减 最后一步 用总的减去gcd不为1的就是最后答案

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1E6+7;
ll arr[N];

ll ksm(ll x,ll y)
    ll res=1;
    while(y)
        if(y&1) res=res*x;
        x=x*x;
        y>>=1;
    
    return res;


ll zfj(ll m)
    ll pos=0;
    for(ll i=2;i*i<=m;i++)
        if(m%i==0)
            arr[pos++]=i;
            while(m%i==0)
                m/=i;
            
        
    
    if(m>1)
        arr[pos++]=m;
    
    return pos; 

int main()
    ll n,m;
    cin>>n>>m;
    ll pos=zfj(m);
    ll s=0;
    for(int i=1;i<(1<<pos);i++)
        ll cnt=0;
        ll sum=1;
        for(int j=0;j<pos;j++)
            if(1&(i>>j))
                cnt++;
                sum*=arr[j];
            
        
        if(cnt&1) 
            s+=ksm(m/sum,n);
        
        else 
            s-=ksm(m/sum,n);
        
    
    printf("%lld\n",ksm(m,n)-s); 
    return 0;