题解签到题

Posted 2022-07-14 kcn999

题目大意

??给定一个长度为\(n\)的序列\(a_1, a_2, \dots , a_n\)（\(1 \leq n, a_i \leq 5 \times 10^5\)）求有多少对$(i, j) $满足\(1 \leq i \leq j \leq n\)且\(\gcd (a_i, a_i + 1, \dots , a_j) \oplus (a_i \lor a_i + 1 \lor \dots \lor a_j) = k\)。

?

题解

??容易想到，当\(i\)不变时，随着\(j\)从小变大，区间\(\gcd\)的值只会变小，且因为每次都要除以一个质因子，所以最多变小\(log\)次就到\(1\)，同时区间或的值只会变大，且因为每次都会有一个二进制位变化，所以最多变大\(log\)次就到最大值。
??如果我们当前知道对于每个\(i\)，所有可能出现的区间\(\gcd\)和区间或的值，就能求出\((i,j)\)的对数。
??同时，我们也可以由\(i + 1\)得到\(i\)可能出现的区间\(\gcd\)和区间或的值，所以我们可以从\(n\)开始枚举到\(1\)，直接求解即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>

#define MAX_N (500000 + 5)
#define SIZE (1 << 21)

#define Getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = fr) + fread(fr, 1, SIZE, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)

using namespace std;

char fr[SIZE], * p1 = fr, * p2 = fr;

void Read(int & res)

    res = 0;
    char ch = Getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch = Getchar();
    while(isdigit(ch)) res = res * 10 + ch - '0', ch = Getchar();
    return; 


struct Interval

    int val;
    int r;
;

int n, k;
int a[MAX_N];
Interval g1[25], g2[25];
int tot1, tot2;
long long ans;

int gcd(int a, int b)

    int c;
    while(b)
    
        c = a % b;
        a = b;
        b = c;
    
    return a;


void Update(int x, Interval g[], int & tot)

    g[tot + 1].val = 0x7f7f7f7f;
    int d = 0;
    for(int i = 1; i + d <= tot; ++i)
    
        g[i] = g[i + d];
        while(g[i + d].val == g[i + d + 1].val)
        
            g[i] = g[i + d + 1];
            ++d;
        
    
    tot -= d;
    return;


int main() 

    Read(n); Read(k);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    
        Read(a[i]);
    
    int t1, t2;
    g1[0].r = g2[0].r = n + 1;
    for(int i = n; i; --i)
    
        for(int j = 1; j <= tot1; ++j)
        
            g1[j].val = gcd(g1[j].val, a[i]);
        
        for(int j = 1; j <= tot2; ++j)
        
            g2[j].val |= a[i];
        
        g1[++tot1] = g2[++tot2] = (Interval)a[i], i;
        Update(i, g1, tot1);
        Update(i, g2, tot2);
        t1 = tot1;
        t2 = tot2;
        while(t1 && t2)
        
            if((g1[t1].val ^ g2[t2].val) == k) 
            
                ans += min(g1[t1 - 1].r, g2[t2 - 1].r) - max(g1[t1].r, g2[t2].r);
            
            if(g1[t1 - 1].r <= g2[t2 - 1].r) --t1;
            else --t2;
        
    
    printf("%lld", ans);
    return 0;