动态规划23题解析

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了动态规划23题解析相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

最近两周做了动态规划的23道经典好题,涉及到区间、树形、数位等三种动态规划类型,现在将这23道题的题解写在下面,方便大家借鉴以及我加深记忆。

upd at:20190814 20:46.T7二叉苹果树

1、石子合并

经典的区间DP问题,枚举合并的堆数作为阶段,设f[i][j]表示i->j这段区间内的最优方案,考虑在这段区间内枚举断点k,不难得到f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j]+sum(i,j))(最大值同理)。破环为链后直接进行DP即可。

技术图片
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<0||ch>9)if(ch==-)f=0;ch=getchar();
    while(ch>=0&&ch<=9)x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
    if(f)return x;return -x;

int n,a[1005],f[505][505],g[505][505],prefix[505],minn=21374404,maxn; 
int main()

    //freopen("A.in","r",stdin);
    //freopen("A.out","w",stdout);
    memset(f,20,sizeof(f));
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        a[i]=read();
        a[i+n]=a[i];
    
    for(int i=1;i<=n*2;i++)
    
        prefix[i]=prefix[i-1]+a[i];
        f[i][i]=0;
    
    for(int i=2;i<=n;i++)
    
        for(int j=1;j<=2*n-i+1;j++)
        
            int end=i+j-1;
            for(int k=j;k<end;k++)
            
                f[j][end]=min(f[j][end],f[j][k]+f[k+1][end]+prefix[end]-prefix[j-1]);
                g[j][end]=max(g[j][end],g[j][k]+g[k+1][end]+prefix[end]-prefix[j-1]);
            
        
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        minn=min(minn,f[i][i+n-1]);
        maxn=max(maxn,g[i][i+n-1]);
    
    printf("%d\n%d\n",minn,maxn);
    //fclose(stdin);
    //fclose(stdout);
    return 0;
石子合并

2、能量项链

同“石子合并”,将第一题的求和换成题目指定的模拟规则即可。

技术图片
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<0||ch>9)if(ch==-)f=0;ch=getchar();
    while(ch>=0&&ch<=9)x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
    if(f)return x;return -x;

int n,a[1005],f[505][505],b[1005],maxn; 
int main()

    //freopen("B.in","r",stdin);
    //freopen("B.out","w",stdout);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        a[i]=read();
        a[i+n]=a[i];
    
    for(int i=1;i<=n*2-1;i++)
    
        b[i]=a[i+1];
    
    b[n*2]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    
        for(int j=1;j<=2*n-i+1;j++)
        
            int end=i+j-1;
            for(int k=j;k<end;k++)
            
                f[j][end]=max(f[j][end],f[j][k]+f[k+1][end]+a[j]*b[k]*b[end]);
            
        
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        maxn=max(maxn,f[i][i+n-1]);
    
    printf("%d\n",maxn);
    //fclose(stdin);
    //fclose(stdout);
    return 0;
能量项链

3、凸多边形的划分

设f[i][j]为i号节点到j号节点组成的凸多边形的最优剖分,我们可以在这段区间内找到一个非i、j的顶点k,剖分出一个以i,j,k为顶点的三角形和两个凸多边形.

然后问题就转化成了如何求这两个小凸多边形的和,从小区间到大区间转移的过程中,小区间是已经被计算过的,直接调用即可。

状态转移方程如下:f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]+a[i]*a[j]*a[k]);

注意,此题需要用高精度或int128

技术图片
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define int __uint128_t
using namespace std;
int read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<0||ch>9)if(ch==-)f=0;ch=getchar();
    while(ch>=0&&ch<=9)x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
    if(f)return x;return -x;

void myitoa(int a,char* s)

    int w=0;
    while(a>0)
    
        s[++w]=a%10+0;
        a/=10;
    
    s[0]=w;

int n,a[505],f[110][110];
char s[110];
signed main()

    //freopen("C.in","r",stdin);
    //freopen("C.out","w",stdout);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=2;i<=n-1;i++)
    
        for(int j=1;j<=n-i;j++)
        
            int end=i+j;
            f[j][end]=1e30;
            for(int k=j+1;k<end;k++)
            
                f[j][end]=min(f[j][end],f[j][k]+f[k][end]+a[j]*a[k]*a[end]);
            
        
    
    myitoa(f[1][n],s);
    for(int i=s[0];i>=1;i--)
    
        cout<<s[i];
    
    //fclose(stdin);
    //fclose(stdout);
    return 0;
凸多边形的划分

4、括号匹配

通过题目很容易发现这道题的边界值:当i和i+1可以匹配的时候,它们合并的代价为0,否则为2。直接按照区间DP模板进行合并,两部分的代价加起来取最小就是最优值,特别地,当两个端点本身就可以匹配的时候,还要和中间的再取一次min。

技术图片
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<0||ch>9)if(ch==-)f=0;ch=getchar();
    while(ch>=0&&ch<=9)x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
    if(f)return x;return -x;

char a[155];
int n,f[155][155];
int main()

    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    cin>>(a+1);
    n=strlen(a+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        if(a[i]==(&&a[i+1]==))f[i][i+1]=0;
        else if(a[i]==[&&a[i+1]==])f[i][i+1]=0;
        else f[i][i+1]=2;
    
    for(int i=2;i<=n;i++)
    
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++)
        
            int end=i+j-1;
            for(int k=j;k<end;k++)
            
                f[j][end]=min(f[j][end],f[j][k]+f[k+1][end]);
            
            if(a[j]==(&&a[end]==))f[j][end]=min(f[j][end],f[j+1][end-1]);
            else if(a[j]==[&&a[end]==])f[j][end]=min(f[j][end],f[j+1][end-1]);
         
    
    cout<<f[1][n]<<endl;
    return 0;
括号匹配

5、分离与合体

需要记录合并的地方,然后递归输出即可。

技术图片
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<0||ch>9)if(ch==-)f=0;ch=getchar();
    while(ch>=0&&ch<=9)x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
    if(f)return x;return -x;

int n,a[505],f[505][505],b[505][505];
void dfs(int x,int y,int dep,int k)

    if(x>=y)return;
    if(dep==k)
    
        printf("%d ",b[x][y]);
        return;
    
    dfs(x,b[x][y],dep+1,k);
    dfs(b[x][y]+1,y,dep+1,k);

int main()

    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=2;i<=n;i++)
    
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++)
        
            int end=i+j-1;
            for(int k=j;k<end;k++)
            
                if(f[j][k]+f[k+1][end]+(a[j]+a[end])*a[k]>f[j][end])
                
                    f[j][end]=f[j][k]+f[k+1][end]+(a[j]+a[end])*a[k];
                    b[j][end]=k;
                
            
        
    
    printf("%d\n",f[1][n]);
    for(int i=1;i<n;i++)
    
        dfs(1,n,1,i);
    
分离与合体

6、矩阵取数游戏

DP五分钟,高精两小时!!!!!!这题DP其实还蛮好想的,因为小区间是由大区间转移而来,所以每一个区间要么是由左边取一个数后得到,要么是由右边取一

数得到,不难得到如下的转移方程:

f[i][j]=max(f[i-1][j]+base[m-j+i-1]*a[i-1],f[i][j+1]+base[m-j+i-1]*a[j+1]);

最后由于空区间无法表示,最后还要再取一边max。

技术图片
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<0||ch>9)if(ch==-)f=0;ch=getchar();
    while(ch>=0&&ch<=9)x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
    if(f)return x;return -x;

int n,m,a[110],f[110][110][110],base[110][110],ans[110],maxn,s1[110],s2[110],s3[110],s4[110],s5[110],s6[110],s7[110],s8[110];
void Mark(int c[])

    for(int i=1;i<=30;i++)
    
        c[i+1]+=c[i]/10000;
        c[i]%=10000;
    
    for(int i=30;i>=1;i--)
    
        if(c[i])
        
            c[0]=i;break;
        
    

void Mul(int a[],int b,int c[])

    for(int i=1;i<=a[0];i++)c[i]=a[i]*b;
    Mark(c);

void Add(int a[],int b[],int c[])

    Mark(a);Mark(b);
    if(a[0]>b[0])c[0]=a[0];
    else c[0]=b[0];
    for(int i=1;i<=c[0];i++)c[i]=a[i]+b[i];
    Mark(c);

bool compare(int a[],int b[])

    Mark(a);Mark(b); 
    if(a[0]<b[0])return 0;if(a[0]>b[0])return 1;
    for(int i=a[0];i>=1;i--)
    
        if(a[i]<b[i])return 0;
        if(b[i]<a[i])return 1;
    
    return 0;

void pre()

    base[0][0]=base[0][1]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)Mul(base[i-1],2,base[i]);

void write(int ans[])

    cout<<ans[ans[0]];
    for(int i=ans[0]-1;i>=1;i--)
    
        cout<<ans[i]/1000;
        cout<<ans[i]/100%10;
        cout<<ans[i]/10%10;
        cout<<ans[i]%10;
    

signed main()

    //freopen("F.in","r",stdin);
    //freopen("F.out","w",stdout);
    n=read();m=read();
    pre();
    while(n--)
    
        memset(f,0,sizeof(f));  
        memset(s5,0,sizeof(s5));
        memset(s6,0,sizeof(s6));
        for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=read();
        for(int i=1;i<=m;i++)
        
            for(int j=m;j>=i;j--)
            
                memset(s1,0,sizeof(s1));
                memset(s2,0,sizeof(s2));
                memset(s7,0,sizeof(s7));
                memset(s8,0,sizeof(s8));
                Mul(base[m-j+i-1],a[i-1],s1);
                Add(s1,f[i-1][j],s7);
                Mul(base[m-j+i-1],a[j+1],s2);
                Add(s2,f[i][j+1],s8);
                if(compare(s7,s8))memcpy(f[i][j],s7,sizeof(f[i][j]));
                else memcpy(f[i][j],s8,sizeof(f[i][j]));
            
        
        for(int i=1;i<=m;i++)
        
            memset(s3,0,sizeof(s3));
            memset(s4,0,sizeof(s4));
            Mul(base[m],a[i],s3);
            Add(f[i][i],s3,s4);
            if(compare(s4,s5))memcpy(s5,s4,sizeof(s5));
        
        Add(ans,s5,s6);
        memcpy(ans,s6,sizeof(ans));
    
    write(ans);
    //fclose(stdin);
    //fclose(stdout);
    return 0;

/*
2 10
96 56 54 46 86 12 23 88 80 43
16 95 18 29 30 53 88 83 64 67
*/
矩阵取数游戏

7、二叉苹果树

建树后依次枚举给左右子树保留的树枝,并不难的记忆化搜索。

技术图片
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int mp[1005][1005],n,q,l[1005],r[1005],a[1005],f[1005][1005];
void Maketree(int node)

    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        if(mp[node][i]==-1)continue;
        l[node]=i;a[i]=mp[node][i];
        mp[node][i]=mp[i][node]=-1;
        Maketree(i);
        break;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        if(mp[node][i]==-1)continue;
        r[node]=i;a[i]=mp[node][i];
        mp[node][i]=mp[i][node]=-1;
        Maketree(i);
        break;
    

int dfs(int u,int w)

    if(w==0)return 0;
    if(l[u]==0&&r[u]==0)return a[u];
    if(f[u][w])return f[u][w];
    for(int i=0;i<=w-1;i++)
    
        f[u][w]=max(f[u][w],dfs(l[u],i)+dfs(r[u],w-i-1)+a[u]);
    
    return f[u][w];

int main()

    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    memset(mp,-1,sizeof(mp));
    cin>>n>>q;
    for(int x,y,z,i=1;i<n;i++)
    
        cin>>x>>y>>z;
        mp[x][y]=mp[y][x]=z;
    
    Maketree(1);
    cout<<dfs(1,q+1)<<endl;
    return 0;
二叉苹果树

 

以上是关于动态规划23题解析的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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