[ZJOI2019]线段树

Posted 2022-07-13 asuldb

题目

神题，神题

首先有一个思想就是计数转概率期望，我们发现每次复制一遍线段树最后会有\(2^m\)棵线段树过于自闭，于是我们把这个问题转化成一个概率问题，对于每次修改操作，我们另其只有\(\frac12\)的概率发生，这样我们维护每个点是\(1\)的概率，最后乘上总情况数就是答案了

于是我们设\(dp_i\)表示线段树上\(i\)节点\(\operatornametag=1\)的概率，我们对于线段树上的点分成三类

• 修改操作中实际经过的点

对于这些点，如果这次修改操作发生，那么这个点的\(\operatornametag\)肯定被\(\operatornamepushdown\)掉了，于是肯定是\(0\)，所以对于这类点\(dp_i=dp_i/2\)

• 最后被打\(\operatornametag\)的点

如果修改操作发生，那么\(\operatornametag\)肯定为\(1\)，所以直接\(dp_i=(dp_i+1)/2\)

• 其父亲被访问到，但是这个节点本身吗没有被访问到

大力思考后会发现这类点没有办法维护，能影响这类点只有\(\operatornamepushdown\)，而一旦这个点到根的路径上有\(1\)，那么这个\(1\)就一定会被\(\operatornamepushdown\)到这个点上来，所以我们需要维护一下每个到根的路径上的情况

于是设\(t_i\)表示节点\(i\)到根的路径上\(\operatornametag\)全部为\(0\)的概率

首先考虑\(t_i\)的修改问题

对于第一类点，显然修改进行的话这个点到根就被清空了，于是\(t_i=(t_i+1)/2\)

对于第二类点，修改进行这点以及这个点子树里的点到根上就都会至少有这一个点\(\operatornametag=1\)，所以这个节点子树内部都会有\(t_i=t_i/2\)，这个我们直接打上标记就好了

对于第二类点，首先现在有了这个\(dp_i\)随便搞搞就能维护出来了，考虑一下对于这种点我们只是利用\(\operatornamepushdown\)把这个点到根的路径上点的\(\operatornametag\)推到了这个点上，所以对于这个点及其子树内部的\(t_i\)没有影响

所以直接写个线段树模拟一下就好了

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define LL long long
inline int read() 
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;

const int mod=998244353;
const int Inv=mod+1>>1;
const int maxn=1e5+5;
int l[maxn<<2],r[maxn<<2],dp[maxn<<2],t[maxn<<2];
int tag[maxn<<2],n,m,pw=1,ans;
void build(int x,int y,int i) 
    l[i]=x,r[i]=y;t[i]=tag[i]=1;
    if(x==y) return;
    int mid=x+y>>1;
    build(x,mid,i<<1),build(mid+1,y,i<<1|1);

inline void pushdown(int i) 
    if(tag[i]==1) return;
    tag[i<<1]=1ll*tag[i<<1]*tag[i]%mod;
    tag[i<<1|1]=1ll*tag[i<<1|1]*tag[i]%mod;
    t[i<<1]=1ll*t[i<<1]*tag[i]%mod;
    t[i<<1|1]=1ll*t[i<<1|1]*tag[i]%mod;
    tag[i]=1;

void change(int x,int y,int i) 
    if(x<=l[i]&&y>=r[i]) 
        ans=(ans-dp[i]+mod)%mod;
        dp[i]=1ll*(dp[i]+1)*Inv%mod;
        t[i]=1ll*t[i]*Inv%mod;
        tag[i]=1ll*tag[i]*Inv%mod;
        ans=(ans+dp[i])%mod;
        return;
    
    if(r[i]<x||l[i]>y) 
        ans=(ans-dp[i]+mod)%mod;
        int v=(mod+1-dp[i])%mod;
        dp[i]=1ll*(v+t[i]%mod)%mod*Inv%mod;
        dp[i]=(mod+1-dp[i])%mod;
        ans=(ans+dp[i])%mod;
        return;
    
    pushdown(i);
    change(x,y,i<<1),change(x,y,i<<1|1);
    t[i]=1ll*(t[i]+1)*Inv%mod;
    ans=(ans-dp[i]+mod)%mod;
    dp[i]=1ll*dp[i]*Inv%mod;
    ans=(ans+dp[i])%mod;

int main() 
    n=read(),m=read();build(1,n,1);
    int op,x,y;
    while(m--) 
        op=read();
        if(op==2) printf("%d\n",1ll*pw*ans%mod);
        else 
            x=read(),y=read();pw=(pw+pw)%mod;
            change(x,y,1);
        
    
    return 0;