队测 逆序对 permut

Posted 2022-07-13 nlyzl

 

本人水平有限，题解不到为处，请多多谅解

 

本蒟蒻谢谢大家观看

 

题目：

　　　　　　　　　　　　permut

题目描述：

求由 1 到 n 一共 n 个数字组成的所有排列中，逆序对个数为 k 的有多少个

输入格式：

第一行为一个整数 T，为数据组数。

以下 T 行，每行两个整数 n，k，意义如题目所述。

输出格式：

对每组数据输出答案对 10000 取模后的结果

Sample Input

1

4 1

Sample Output

3 

数据范围及约定

对于 30% 的数据，满足 n≤12

对于所有数据，满足 n≤1000, k≤1000，T≤10

测试时全程开启O2优化

 

此题为逆序对：逆序对定义如下：

设 A 为一个有 n 个数字的有序集 (n>1)，其中所有数字各不相同。

如果存在正整数 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j]，则 <A[i], A[j]> 这个有序对称为 A 的一个逆序对，也称作逆序数。

 

首先看一下题面：由1~n组成的所有排列中，求逆序对个数等于k的排列数

我首先想到的是用全排列，不断去枚举用dfs去爆搜，（结果只拿了20分）解法如下：

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
#define mod 10000
using namespace std;
int n,a[13],ans,cnt,t,k;
int f[1001][20002];
bool b[13];
void inint()
    freopen("permut.in","r",stdin);
    freopen("permut.out","w",stdout);

void dfs(int num)
    if(num==n+1)
        cnt=0;//cnt每次做完一次排列后要清零，从重新统计 
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                if(a[i]>a[j]&&j>i)cnt++;    
            
            //cout<<a[i]<<" ";//"  cnt= "<<cnt<<" ";
        
        //cout<<endl;
        if(cnt==k)
            ans++;
        //cout<<endl;
        //cout<<ans<<endl;
        return ;
    
//    cout<<ans<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(b[i]==false)
            b[i]=true;
            a[num]=i;
            dfs(num+1);
            b[i]=0;
            a[num]=0;
        
    
    return ;

inline int read()
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();
    while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();
    return x*f;

int main()

    //inint();
    t=read();
    while(t--)
        ans=0;
        n=read(),k=read();
        dfs(1);
        printf("%d\n",ans);
     
    return 0;

同理：ans一定要不断的重新清零。

显然解法1会TLE,当n==10是其已经不能胜任在1s内跑完。

这时，通过dfs我们可以输入几个数，发现可以使用DP(dfs在一定有规律时可以转化成DP)

解法2横空出世：设f[i][j]表示1~i的逆序对数为j的排列方案数。次设法刚好符合题意，我们就可以直接输出f[n][k]即可。

在任意一个1到i-1排列中插入i可能产生0，1，2……i-1个逆序对。

　　 i-1　　

f[i][j]=∑f[i-1][j-k](j>=k)

　　 k=0

 

因为有多组数据，所以枚举时n,k都要取max,来优化时间复杂度，其n,k都要用数组形式存储，防止数据更新。

code:

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
using namespace std;
int f[5001][4951],n[11],k[11],t,maxn,maxk;
inline int read()
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)
        if(ch==‘-‘)f=-1;
        ch=getchar();
    
    while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    
    return x*f;

int main()

    t=read();
        for(int i=1;i<=t;i++)
        n[i]=read(),k[i]=read();
        maxn=max(maxn,n[i]);
        maxk=max(maxk,k[i]);
    
        f[0][0]=1;
        f[1][0]=1;
        f[2][0]=1;
        f[2][1]=1;
        for(int i=3;i<=maxn;i++)
            for(int j=0;j<=maxk;j++)
                for(int kk=0;kk<=i-1&&kk<=j;kk++)
                    f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-kk])%10000;
                
            
        
        for(int i=1;i<=t;i++)
        printf("%d\n",f[n[i]][k[i]]);