双连通分量和强连通分量的总结

Posted 2022-07-05 dwvictor

【双连通分量】

一、边双连通分量定义

在分量内的任意两个点总可以找到两条边不相同的路径互相到达。总而言之就是一个圈，正着走反着走都可以相互到达，至少只有一个点。

二、点双连通分量的定义

参照上面，唯一的不同：任意两个点可以找到一个点不同的路径互相到达。也是一个圈，正反走都可以，至少为一个点。

三、边、点双连通分量模板代码要注意的地方

边双连通分量：

1.每个节点的所有儿子遍历后才开始计算分量大小，请与点双连通相区分；

2.割顶只能属于一个分量，请与割边区分；（容易搞混）

3.要注意j是否是i的父节点；

点双连通分量：

 

1.每遍历一个儿子就计算是否有点连通分量；

2.割顶可以属于多个连通分量，请注意与割边区分；

3.当i为根节点时，至少要有两个儿子才能是割点；

 

【强连通分量】

一、定义

有向图上的环，不啰嗦，与上面两种类似，至少为一个点；

 

二、模板代码注意的地方

1.每个点所有儿子遍历完才开始求分量；（类似边双连通分量）

2.每个点只能属于一个分量；

 

【强连通分量和双连通分量常见的模型和问法】

双连通分量

1.给出的图是非连通图，如：

a.有一些点，一些边，加最少的边，要使得整个图变成双联通图。

大致方法：求出所有分量，把每个分量看成一个点，统计每个点的度，有一个度为一则cnt加1，答案为（cnt+1）/2；

b.有一些点，一些边，问最少多少个点单着。

大致方法：求出所有的分量即可，但要注意不同的题可能有特殊要求（如圆桌骑士要求奇圈，要用到二分图判定）

c.各种变式问题

 

2.给出的图是连通图，如：

a.给定一个起点一个终点，求各种问题是否能实现。

大致方法：求出所有分量，并把每个分量当成点，于是问题得到化简；

b.给一个图，然后有大量的离线回答。

大致方法：求出所有分量，再求出上下子树的信息；

c.各种变式问题；

 

强连通分量

1.给出的是非连通图，如：

a.有一些点，一些有向边，求至少加多少边使任意两个点可相互到达

大致方法：求出所有的分量，缩点，分别求出出度入度为0的点的数量，取多的为答案；

b.有一些点，一些有向边，求在这个图上走一条路最多可以经过多少个点

大致方法：求出所有的分量，缩点，形成一个或多个DAG图，然后做DAG上的dp

c.有一些点，一些有向边，给出一些特殊点，求终点是特殊点的最长的一条路

大致方法：求出所有分量，并标记哪些分量有特殊点，然后也是DAG的dp

 

2.给出的是连通图，比较少，有也比较简单

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总结：

1.遇到非连通图几乎可以肯定是要求连通分量，不论是无向还是有向图；（可以节约大量思考时间）

2.凡是对边、点的操作，在同一个分量内任意一个点效果相同的，几乎都是缩点解决问题；再粗暴点，几乎求了连通分量都要缩点；

3.一定要考虑特殊情况，如整个图是一个连通分量等（考虑到了就有10-20分）；

4.对于双连通分量要分析是边还是点双连通分量；通过题目来判断；

5.拿到题目要先搞清楚给的是连通图还是非连通图。