树的直径

Posted 2022-07-04 vividbingo

定义：

   树的直径指树上距离最远的两点间的距离。

性质：

①  直径两端点一定是两个叶子节点。

②  距离任意点最远的点一定是直径的一个端点，这个基于贪心求直径方法的正确性可以得出。

③  对于两棵树，如果第一棵树直径两端点为(u,v)，第二棵树直径两端点为(x,y)，用一条边将两棵树连接，那么新树的直径一定是u,v,x,y,中的两个点。

④  对于一棵树，如果在一个点的上接一个叶子节点，那么最多会改变直径的一个端点。

⑤  若一棵树存在多条直径，那么这些直径交于一点且交点是这些直径的中点。

求解：

DP：

    令dp[s]为s子树方向的最大距离，ans为直径。

void DP(int s,int fa)

  int i,v;
  for(i=head[s];i!=-1;i=e[i].next)
   
      v=e[i].v;
      if(v==fa) continue;
      DP(v,s);
      ans=max(ans,dp[s]+dp[v]+e[i].w);
      dp[s]=max(dp[s],dp[v]+e[i].w);
   

 

DFS|BFS:

    任意找一点为根，进行BFS|DFS找到最远点A，以A为根，进行BFS|DFS找到最远点B，AB则为直径。

    ①DFS(1,-1,0); ②DFS(A,-1,0); pos表示最远点。

void DFS(int s,int fa,int deep)

  int i,v;
  if(mmax<deep) mmax=deep,pos=s;
  for(i=head[s];i!=-1;i=e[i].next)
  
    v=e[i].v;
    if(v==fa) continue;
    DFS(v,s,deep+1);