HDU-3081 Marriage Match II (最大流，二分答案，并查集)

Posted 2022-07-03 kangkang-

题目链接：HDU-3081 Marriage Match II

题意

有$n$个男孩和$n$个女孩玩配对游戏，每个女孩有一个可选男孩集合(即每轮游戏的搭档可从集合中选择)，已知有些女孩之间是朋友(这里的朋友关系是相互的，即a和b是朋友，a和c是朋友，那么b和c也是朋友)，那么她们可以共享男孩集合，即这些男孩集合的并集成为她们各自的可选男孩集合，如果某一轮女孩选择了一个男孩作为搭档，则这个男孩后面不能再作为这个女孩的搭档，问游戏最多进行几轮。

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思路

女孩朋友之间共享男孩集合问题可以用并查集解决，将互为朋友的女孩放到一个并查集中，最后检查女孩两两之间是否在同一个并查集，是则说明她们是朋友，遍历$n$个男孩，合并她们与男孩之间的关系。

假设当前二分尝试的轮数为$K$，源点为$s$，汇点为$t$，用$(始点,终点,容量)$表示边，建立流网络如下：

若男孩$v$在女孩$u$的可选男孩集合中，连边$(u,v,1)$，表示女孩$u$只能选男孩$v$一次；

对于每个女孩$u$，连边$(s,u,K)$，表示每个女孩需要选择$K$个男孩作为$K$轮的搭档；

对于每个男孩$v$，连边$(v, t, K)$，表示每个男孩只能被$K$个女孩选到。

如果这个流网络的最大流为$n\times K$，那么说明游戏进行$K$轮是可行的。

为什么$s$的出边和$t$的入边流量都为$K$(将之简称为满流)就说明游戏进行$K$轮是可行的？

实际上若$K>1$时满流的话说明$K=1$也是可以满流的，因为$K=1$满流是更弱的要求，$K=1$满流显然等价于可以进行一轮；如果$K=2$可以满流的话说明在$K=1$的流量流过之后(1轮)，女孩男孩之间连边的残余容量可以再满足一次$K=1$的流量流过，即可以再进行一轮(2轮)，以此类推得出$s$的出边和$t$的入边容量都为$K$时能满流的话，则游戏能进行$K$轮。那么我们不断二分尝试$K$，找到能满流的最大$K$，就是最大的游戏轮数。

上面的说明并不是严谨的数学证明，谁会严谨证明欢迎交流。

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代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using std::queue;
const int INF = 0x3f3f3f3f, N = 220, M = 30000;
int head[N], d[N], par[N], ht[N];
int s, t, tot, maxflow;
bool dist[N][N];
struct Edge

    int to, cap, nex;
 edge[M];
queue<int> q;
void add(int x, int y, int z) 
    edge[++tot].to = y, edge[tot].cap = z, edge[tot].nex = head[x], head[x] = tot;
    edge[++tot].to = x, edge[tot].cap = 0, edge[tot].nex = head[y], head[y] = tot;

bool bfs() 
    memset(d, 0, sizeof(d));
    while (q.size()) q.pop();
    q.push(s); d[s] = 1;
    while (q.size()) 
        int x = q.front(); q.pop();
        for (int i = head[x]; i; i = edge[i].nex) 
            int v = edge[i].to;
            if (edge[i].cap && !d[v]) 
                q.push(v);
                d[v] = d[x] + 1;
                if (v == t) return true;
            
        
    
    return false;

int dinic(int x, int flow) 
    if (x == t) return flow;
    int rest = flow, k;
    for (int i = head[x]; i && rest; i = edge[i].nex) 
        int v = edge[i].to;
        if (edge[i].cap && d[v] == d[x] + 1) 
            k = dinic(v, std::min(rest, edge[i].cap));
            if (!k) d[v] = 0;
            edge[i].cap -= k;
            edge[i^1].cap += k;
            rest -= k;
        
    
    return flow - rest;

void init2() 
    tot = 1, maxflow = 0;
    memset(head, 0, sizeof(head));

void init1(int n) 
    for (int i = 0; i <= n + 1; i++) par[i] = i, ht[i] = 0;
    s = 0, t = n + 1;
    memset(dist, 0, sizeof(dist));

int Find(int x) 
    if (par[x] == x) return x;
    else return par[x] = Find(par[x]);

void unite(int x, int y) 
    x = Find(x), y = Find(y);
    if (x == y) return ;
    if (ht[x] < ht[y]) par[x] = y;
    else 
        par[y] = x;
        if (ht[x] == ht[y]) ht[x]++;
    

bool solve(int n, int K) 
    init2();
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        for (int j = n + 1; j <= 2 * n; j++) 
            if (dist[i][j]) add(i, j, 1);
        
        add(s, i, K);
    
    for (int i = n + 1; i <= 2 * n; i++) add(i, t, K);
    while (bfs()) maxflow += dinic(s, INF);

    return (maxflow == n * K);


int main() 
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) 
        int n, m, f;
        scanf("%d %d %d", &n, &m, &f);
        init1(2 * n);
        for (int i = 0, u, v; i < m; i++) 
            scanf("%d %d", &u, &v);
            dist[u][v+n] = true;
        
        for (int i = 0, u, v; i < f; i++) 
            scanf("%d %d", &u, &v);
            unite(u, v);
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) 
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) 
                if (Find(i) == Find(j)) 
                    for (int k = n + 1; k <= 2 * n; k++) 
                        dist[i][k] = dist[j][k] = (dist[i][k] || dist[j][k]);
                    
                
            
        
        int L = 0, R = 101;
        while (R - L > 1) 
            int mid = (L + R) >> 1;
            if (solve(n, mid)) L = mid;
            else R = mid;
        
        printf("%d\n", L);
    
    return 0;

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